Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng độ dài đoạn vuông góc chung.

Giải chi tiết:

Gọi H là trung điểm của BC, kẻ HK vuông góc SA (\(K\in SA\)).

Tam giác SBC đều \(\Rightarrow SH\bot BC\)

Mà \(\left\{ \begin{align}  \left( SBC \right)\bot (ABC) \\  \left( SBC \right)\cap (ABC)=BC \\ \end{align} \right.\Rightarrow SH\bot (ABC)\Rightarrow SH\bot BC\)

Tam giác ABC vuông cân tại A \(\Rightarrow AH\bot BC\) \(\Rightarrow BC\bot (SHA)\Rightarrow BC\bot HK\)

Mà \(HK\bot SA\Rightarrow HK\)là đoạn vuông góc chung của BC và SA.

*) Tính HK:

Tam giác ABC vuông cân tại A \(\Rightarrow AH=\frac{1}{2}BC=\frac{a}{2}\)

Tam giác SBC đều, cạnh a \(\Rightarrow SH=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)

Tam giác SAH vuông tại H, \(HK\bot SA\Rightarrow \frac{1}{H{{K}^{2}}}=\frac{1}{S{{H}^{2}}}+\frac{1}{A{{H}^{2}}}=\frac{1}{{{\left( \frac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}}+\frac{1}{{{\left( \frac{a}{2} \right)}^{2}}}=\frac{16}{3{{a}^{2}}}\Leftrightarrow HK=\frac{a\sqrt{3}}{4}\)

\(\Rightarrow d\left( BC;SA \right)=HK=\frac{a\sqrt{3}}{4}\).

Chọn: D