Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Dựng đường thẳng d song song với AC’ \(\Rightarrow \widehat{\left( AC';A'B \right)}=\widehat{\left( d;A'B \right)}\).

+) Áp dụng định lí cosin trong tam giác.

Giải chi tiết:

Gọi D’ là đỉnh thứ tư của hình thoi A’B’D’C’ ta có \(\left\{ \begin{align}  C'D'//A'B'//AB \\  C'D'=A'B'=AB \\ \end{align} \right.\Rightarrow ABD'C’\)  là hình bình hành \(\Rightarrow AC'//BD'\Rightarrow \widehat{\left( AC';A'B \right)}=\widehat{\left( BD';A'B \right)}\Rightarrow \left[ \begin{align}  \widehat{A'BD'}={{60}^{0}} \\  \widehat{A'BD'}={{120}^{0}} \\ \end{align} \right.\).

Gọi O là tâm hình thoi \(A’B’D’C’\) \(\Rightarrow A'O=\frac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow A'D'=a\sqrt{3}\); \(A'B=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}=BD’\) .

Áp dụng định lí cosin trong tam giác A’BD’ có:  \(\cos \widehat{A'BD'}=\frac{2{{a}^{2}}+2{{b}^{2}}-3{{a}^{2}}}{2\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)}=\frac{-{{a}^{2}}+2{{b}^{2}}}{2{{a}^{2}}+2{{b}^{2}}}\)

TH1:  \(\widehat{A'BD'}={{60}^{0}}\Leftrightarrow \frac{-{{a}^{2}}+2{{b}^{2}}}{2{{a}^{2}}+2{{b}^{2}}}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow -2{{a}^{2}}+4{{b}^{2}}=2{{a}^{2}}+2{{b}^{2}}\Leftrightarrow {{b}^{2}}=2{{a}^{2}}\Rightarrow b=a\sqrt{2}\)

TH2:  \(\widehat{A'BD'}={{120}^{0}}\Leftrightarrow \frac{-{{a}^{2}}+2{{b}^{2}}}{2{{a}^{2}}+2{{b}^{2}}}=\frac{-1}{2}\Leftrightarrow -2{{a}^{2}}+4{{b}^{2}}=-2{{a}^{2}}-2{{b}^{2}}\Leftrightarrow b=0\,\,\left( ktm \right)\).

Chọn C.