Cho các số phức \({{z}_{1}}=-\,2+i,\,\,{{z}_{2}}=2...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đặt \(z=x+yi,\) dựa vào giả thiết và biểu thức P đưa về tìm max – min của biểu thức chứa hai biến, sử dụng lượng giác hóa và bất đẳng thức Bunhiacopxki để tìm max – min

Giải chi tiết:

Đặt \(z=x+yi\,\,\,\,\left( x,\,\,y\in \mathbb{R} \right),\) khi đó \({{\left| z-{{z}_{1}} \right|}^{2}}+{{\left| z-{{z}_{2}} \right|}^{2}}=16\Leftrightarrow {{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}=16\)

\(\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}+4+2{{y}^{2}}-4y+2=16\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2y-3=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}=4\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  x=2\sin t \\  y=2\cos t+1 \\ \end{align} \right..\)

Khi đó \({{\left| z \right|}^{2}}={{x}^{2}}+{{y}^{2}}=4{{\sin }^{2}}t+{{\left( 2\cos t+1 \right)}^{2}}=4\cos t+5\) mà \(\cos t\in \left[ -\,1;1 \right]\)\(\Rightarrow \,\,4\cos t+5\in \left[ 1;9 \right].\)

Vậy \(1\le \left| z \right|\le 3\,\,\xrightarrow{{}}\,\,\left\{ \begin{align}  M=3 \\  m=1 \\ \end{align} \right.\Rightarrow {{M}^{2}}-{{m}^{2}}=8.\)

Chọn C