Biết \(\int\limits_1^4 {\sqrt {\frac{1}{{4x}} + \f...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

thấy biểu thức dưới dấu căn là hẳng đẳng thức, khai căn và đưa về tích phân cơ bản

Giải chi tiết:

Ta có \(\frac{1}{4x}+\frac{\sqrt{x}+{{\text{e}}^{x}}}{\sqrt{x}{{\text{e}}^{2x}}}={{\left( \frac{1}{2\sqrt{x}} \right)}^{2}}+2.\frac{1}{2\sqrt{x}}.\frac{1}{{{\text{e}}^{x}}}+{{\left( \frac{1}{{{\text{e}}^{x}}} \right)}^{2}}={{\left( \frac{1}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{{{\text{e}}^{x}}} \right)}^{2}}\)

Suy ra \(\int\limits_{1}^{4}{\sqrt{\frac{1}{4x}+\frac{\sqrt{x}+{{\text{e}}^{x}}}{\sqrt{x}{{\text{e}}^{2x}}}}\text{d}x}=\int\limits_{1}^{4}{\left( \frac{1}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{{{\text{e}}^{x}}} \right)\text{d}x}=\left. \left( \sqrt{x}-{{\text{e}}^{-x}} \right) \right|_{1}^{4}=1+{{\text{e}}^{-1}}-{{\text{e}}^{-4}}.\)

Vậy \(a = 1,\;b =  - 1,\;c = - 4.\) Suy ra \(T=1-1-4=-4.\)

Chọn C