Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình v...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Gọi H là trung điểm của  AB \(\Rightarrow \,\,SH\bot \left( ABCD \right).\)

Gắn hệ tọa độ \(Oxyz,\) với \(H\left( 0;0;0 \right),\,\,S\left( 0;0;\frac{\sqrt{3}}{2} \right),\,\,A\left( -\frac{1}{2};0;0 \right);\,\,B\left( \frac{1}{2};0;0 \right);\,\,C\left( \frac{1}{2};1;0 \right),\,\,D\left( -\frac{1}{2};1;0 \right)\)

Gọi \({{\overrightarrow{n}}_{1}};{{\overrightarrow{n}}_{2}}\) lần lượt là các VTPT của mặt phẳng \(\left( GMN \right);\left( ABCD \right)\Rightarrow \cos \left( \left( GMN \right);\left( ABCD \right) \right)=\frac{\left| \overrightarrow{{{n}_{1}}}.\overrightarrow{{{n}_{2}}} \right|}{\left| \overrightarrow{{{n}_{1}}} \right|.\left| \overrightarrow{{{n}_{2}}} \right|}\)

Giải chi tiết:

Gọi H là trung điểm của \(AB.\) Vì \(\left( SAD \right)\bot \left( ABCD \right)\)\( \Rightarrow \,\,SH\bot \left( ABCD \right).\)

Gắn hệ tọa độ \(Oxyz,\) với \(H\left( 0;0;0 \right),\,\,S\left( 0;0;\frac{\sqrt{3}}{2} \right),\,\,A\left( -\frac{1}{2};0;0 \right);\,\,B\left( \frac{1}{2};0;0 \right);\,\,C\left( \frac{1}{2};1;0 \right),\,\,D\left( -\frac{1}{2};1;0 \right)\)

Khi đó \(G\left( 0;0;\frac{\sqrt{3}}{6} \right),\,\,M\left( \frac{1}{4};\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{4} \right),\,\,N\left( -\,\frac{1}{4};\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{4} \right)\)

\(\begin{align}  & \Rightarrow \overrightarrow{GM}=\left( \frac{1}{4};\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{12} \right);\,\,\overrightarrow{MN}=\left( -\frac{1}{2};0;0 \right) \\  & \Rightarrow \,\,{{{\vec{n}}}_{1}}={{{\vec{n}}}_{\left( GMN \right)}}=\left[\overrightarrow{GM};\overrightarrow{MN} \right]=\left( 0;-\frac{\sqrt{3}}{24};\frac{1}{4} \right). \\ \end{align}\)

Và mặt phẳng \(\left( ABCD \right)\) có vectơ pháp tuyến là \({{\vec{n}}_{2}}={{\vec{n}}_{\left( ABCD \right)}}=\overrightarrow{k}=\left( 0;0;1 \right).\)

Vậy cosin góc giữa hai mặt phẳng \(\left( GMN \right),\,\,\left( ABCD \right)\) là \(\cos \alpha =\frac{\left| {{{\vec{n}}}_{1}}.{{{\vec{n}}}_{2}} \right|}{\left| {{{\vec{n}}}_{1}} \right|.\left| {{{\vec{n}}}_{2}} \right|}=\frac{2\sqrt{39}}{13}.\)

Chọn D.