Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bở...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

 Dựng hình, áp dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay bằng tích phân

Giải chi tiết:

Hình vẽ tham khảo

Xét phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng \(x+y-2=0\) và đồ thị hàm số \(y=\sqrt{x}\) là: \(2-x=\sqrt{x}\Leftrightarrow x+\sqrt{x}-2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \sqrt{x}=-2\ \ \left( ktm \right) \\ & \sqrt{x}=1 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow x=1.\)

Xét phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng \(x+y-2=0\) và trục Ox: \(2-x=0\Leftrightarrow x=2.\)

Xét phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng \(y=0\) và đồ thị hàm số \(y=\sqrt{x}\) là: \(\sqrt{x}=0\ \Leftrightarrow x=0.\)

Vậy thể tích khối tròn xoay cần tính là:

\(\begin{align} & V=\pi \left[ \int\limits_{0}^{1}{{{\left( \sqrt{x} \right)}^{2}}\text{d}x+\int\limits_{1}^{2}{{{\left( 2-x \right)}^{2}}\,\text{d}x}} \right]=\pi \left[ \int\limits_{0}^{1}{\text{xd}x+\int\limits_{1}^{2}{\left( 4-4x+{{x}^{2}} \right)\,\text{d}x}} \right] \\ & =\pi \left( \left. \frac{{{x}^{2}}}{2} \right|_{0}^{1}+\left. \left( 4x-2{{x}^{2}}+\frac{{{x}^{3}}}{3} \right) \right|_{1}^{2} \right)=\pi \left( \frac{1}{2}+\frac{8}{3}-\frac{7}{3} \right)=\frac{5\pi }{6}\cdot \\ \end{align}\)

Chọn D