Cho tam giác \(ABC\) vuông ở \(A\), có \(\angle C...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Chứng minh \(\Delta ABD\) là tam giác cân, có một góc bằng \({60^0}\)

b) Chứng minh \(\Delta AHC = \Delta CEA\,\,\,\)(cạnh huyền- góc nhọn) \( \Rightarrow AH = CE\) (cạnh tương ứng)

c) Chứng minh \(\angle DHE = \angle EAC\) mà hai góc này ở vị trí so le trong nên \( \Rightarrow HE//AC\)

Giải chi tiết:

a) \(\Delta AHB\) có \(\angle AHB = {90^0}\)

\(\Delta AHD\) có \(\angle AHD = {90^0}\)

\( \Rightarrow AH \bot BC\)

Hai tam giác vuông \(AHB\) và \(AHD\) có:

\(\begin{array}{l}AH\,chung\\HD = HB\end{array}\)

Do đó: \(\Delta AHB = \Delta AHD\) (2 cạnh góc vuông)

\( \Rightarrow AB = AD\)

\( \Rightarrow \Delta ABD\) cân tại \(A\)  (1)

Mặt khác \(\Delta ABC\) có: \(\angle A = {90^0};\,\,\angle C = {30^0}\)

\(\angle A + \angle B + \angle C = {180^0}\) (tổng 3 góc của một tam giác)

\(\begin{array}{l}{90^0} + \angle B + \angle {30^0} = {180^0}\\ \Rightarrow \angle B = {180^0} - {90^0} - {30^0}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {60^0}\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \Delta ABD\) là tam giác đều.  

b) \(\Delta ABD\) là tam giác đều.

\( \Rightarrow \angle BAD = {60^0} \Rightarrow \angle EAC = {90^0} - {60^0} = {30^0}\,\,\,\,\,\left( {\angle A = {{90}^0}} \right)\)

\(\Delta AHC\left( {\angle AHC = {{90}^0}} \right)\) và \(\Delta CEA\,\,\,\,\,(\angle CEA = {90^0})\) có :

\(AC\) cạnh huyền chung

\(\angle EAC = \angle HCA = {30^0}\)

Vậy : \(\Delta AHC = \Delta CEA\,\,\,\) (cạnh huyền – góc nhọn)

\( \Rightarrow AH = CE\) (cạnh tương ứng)

c) \(\angle EAC = \angle HCA = {30^0} \Rightarrow \Delta DAC\) cân tại \(D\)  \( \Rightarrow DA = DC\)

Mà \(HC = EA\,\left( {\Delta AHC = \Delta CEA} \right)\)

Nên \(DH = DE \Rightarrow \Delta DHE\) cân tại D.

Hai tam giác cân \(DAC\) và \(DEH\) có :

\(\angle ADC = \angle EDC\) (đối đỉnh)

\( \Rightarrow \angle DHE = \angle EAC\)

Mà \(\angle DHE\) và \(\angle EAC\) là cặp góc so le trong \( \Rightarrow HE//AC\)