Thể tích của khối chóp đều \(S.ABC\) có cạnh \(AB=...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng bằng phương pháp tìm đoạn vuông góc chung

Giải chi tiết:

Gọi \(I\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC.\)

Vì \(S.ABC\) là hình chóp đều \(\Rightarrow SI\bot \left( ABC \right)\Rightarrow {{V}_{S.ABC}}=\frac{1}{3}.SI.{{S}_{\Delta \,ABC}}.\)

Diện tích tam giác đều \(ABC\) cạnh \(a\) là \({{S}_{\Delta \,ABC}}=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}\Rightarrow SI=2a.\)

Tam giác \(SAI\) vuông tại \(I,\) có \(SA=\sqrt{S{{I}^{2}}+A{{I}^{2}}}=\frac{a\sqrt{39}}{3}.\)

Diện tích tam giác \(SAM\) là \({{S}_{\Delta \,SAM}}=\frac{1}{2}.SI.AM=\frac{1}{2}.2a.\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}.\)

Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC,\) kẻ \(MH\bot SA\)\(\Rightarrow \,\,MH\) là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng \(SA\) và \(BC.\)

Khi đó \({{S}_{\Delta \,SAM}}=\frac{1}{2}.MH.SA=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}\Rightarrow MH=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{SA}=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{a\frac{\sqrt{39}}{3}}=\frac{3a\sqrt{13}}{13}.\)

Vậy \(d\left( SA;BC \right)=\frac{3a\sqrt{13}}{13}.\)

Chọn D.