Với điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}ac\left( {...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Chứng minh đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị.

+) Chứng minh các điểm cực đại và cực tiểu nằm khác phía so với trục hoành.

Giải chi tiết:

Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+C\)và đường thẳng y = 0.

Ta có: \(y' = 4a{x^3} + 2bx = 0 \Leftrightarrow 2x\left( {2a{x^2} + b} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} =  - \frac{b}{{2a}}\end{array} \right.\)

Ta có \(ab<0\Rightarrow \)a, b trái dấu \(\Rightarrow -\frac{b}{2a}>0\Rightarrow \)phương trình y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt hay đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị.

Với \(x=0\Rightarrow y=c\Rightarrow A\left( 0;c \right)\)

Với \({x^2} =  - \frac{b}{{2a}} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - \sqrt { - \frac{b}{{2a}}}  \Rightarrow y = a\frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}} - b\frac{b}{{2a}} + c = \frac{{a{b^2} - 2a{b^2} + 4{a^2}c}}{{4{a^2}}} = \frac{{ - a\left( {{b^2} - 4ac} \right)}}{{4{a^2}}}\\x = \sqrt { - \frac{b}{{2a}}}  \Rightarrow y = a\frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}} - b\frac{b}{{2a}} + c = \frac{{a{b^2} - 2a{b^2} + 4{a^2}c}}{{4{a^2}}} = \frac{{ - a\left( {{b^2} - 4ac} \right)}}{{4{a^2}}}\end{array} \right.\)

\(\Rightarrow B\left( -\sqrt{-\frac{b}{2a}};\frac{-a\left( {{b}^{2}}-4ac \right)}{4{{a}^{2}}} \right),C\left( \sqrt{-\frac{b}{2a}};\frac{-a\left( {{b}^{2}}-4ac \right)}{4{{a}^{2}}} \right)\)

Ta có \(ac\left( {{b}^{2}}-4ac \right)>0\Leftrightarrow \frac{-a\left( {{b}^{2}}-4ac \right)}{4{{a}^{2}}}.c<0\Rightarrow {{y}_{B}}.{{y}_{A}}<0\Rightarrow \)Các điểm cực đại và cực tiểu nằm về khác phía so với trục hoành \(\Rightarrow \)đồ thị hàm số \(y=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+C\)cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt.

Chọn A.