Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình \({{e...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp hàm số

Giải chi tiết:

Điều kiện: \(\cos x\ne 0.\) Vì  \({{e}^{\sin \left( x\,-\,\frac{\pi }{4} \right)}}>0;\,\,\forall x\Rightarrow \tan x>0.\)

Ta có \({{e}^{\sin \left( x\,-\,\frac{\pi }{4} \right)}}=\tan x\Leftrightarrow {{e}^{\frac{1}{\sqrt{2}}\left( \sin x\,-\,\,\cos x \right)}}=\frac{\sin x}{\cos x}\Leftrightarrow \frac{{{e}^{\frac{\sin x}{\sqrt{2}}}}}{\sin x}=\frac{{{e}^{\frac{\cos x}{\sqrt{2}}}}}{\cos x}\Leftrightarrow f\left( \sin x \right)=f\left( \cos x \right).\)

Vì \(\tan x>0\) nên \(\sin x;\,\,\cos x\) cùng thuộc khoảng \(\left( -\,1;0 \right)\) và \(\left( 0;1 \right).\)

Xét hàm số \(f\left( t \right)=\frac{{{e}^{\frac{t}{\sqrt{2}}}}}{t},\) có \({f}'\left( t \right)=\frac{{{e}^{\frac{t}{\sqrt{2}}}}\left( t\sqrt{2}-2 \right)}{2{{t}^{2}}}<0\) với mọi \(t\in \left( -\,1;0 \right)\cup \left( 0;1 \right).\)

Suy ra \(f\left( t \right)\) là hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( -\,1;0 \right)\) và \(\left( 0;1 \right).\)

Mà \(f\left( \sin x \right)=f\left( \cos x \right)\Rightarrow \sin x=\cos x\Leftrightarrow \sin \left( x-\frac{\pi }{4} \right)=0\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{4}+k\pi \,\,\,\,\,\,\,\left( k\in \mathbb{Z} \right).\)

Lại có \(x\in \left[ 0;50\,\pi  \right]\) nên \(0\le \frac{\pi }{4}+k\pi \le 50\,\pi \Leftrightarrow -\frac{1}{4}\le k\le \frac{199}{4}\,\,\xrightarrow{k\,\,\in \,\,\mathbb{Z}}\,\,k=\left\{ 0\,\,\to \,\,49 \right\}.\)

Vậy tổng cần tính là \(T=50.\frac{\pi }{4}+\pi \left( 1+2+\,\,...\,\,+49 \right)=\frac{50\,\pi }{4}+1225\,\pi =\frac{2475\,\pi }{2}.\)

Chọn C.