Tìm hệ số của \({{x}^{5}}\) trong khai triển nhị t...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức tổng quát của khai triển nhị thức New – tơn

Giải chi tiết:

Xét khai triển \({{\left( x\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt[3]{x}} \right)}^{n}}=\sum\limits_{k\,\,=\,\,0}^{n}{C_{n}^{k}}.{{\left( x\sqrt{x} \right)}^{n\,\,-\,\,k}}.{{\left( \frac{1}{\sqrt[3]{x}} \right)}^{k}}=\sum\limits_{k\,\,=\,\,0}^{n}{C_{n}^{k}}.{{x}^{\frac{3}{2}n\,\,-\,\,\frac{11}{6}k}}.\)

Tổng hệ số của số hạng trong khai triển là \(C_{n}^{0}+C_{n}^{1}+C_{n}^{1}+\,\,...\,\,+C_{n}^{n}=128\Rightarrow {{2}^{n}}=128\Rightarrow n=7.\)

Khi đó \({{\left( x\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt[3]{x}} \right)}^{n}}=\sum\limits_{k\,\,=\,\,0}^{7}{C_{7}^{k}}.{{x}^{\frac{21}{2}\,\,-\,\,\frac{11}{6}k}}\). Hệ số của \({{x}^{5}}\) ứng với \(\frac{21}{2}-\frac{11}{6}k=5\Rightarrow k=3.\)

Vậy hệ số cần tìm là \(C_{7}^{3}=35.\)

Chọn A