Biết rằng \(a\) là số thực dương sao cho bất đẳng...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đưa về khảo sát hàm một biến và biện luận để bất phương trình đúng với mọi x

Giải chi tiết:

Ta có \({{3}^{x}}+{{a}^{x}}\ge {{6}^{x}}+{{9}^{x}}\Leftrightarrow f\left( x \right)={{3}^{x}}+{{a}^{x}}-{{6}^{x}}-{{9}^{x}}\ge 0;\,\,\forall x\in \mathbb{R}.\).

Xét \(f\left( x \right)={{3}^{x}}+{{a}^{x}}-{{6}^{x}}-{{9}^{x}}\) trên \(\mathbb{R},\) có \({f}'\left( x \right)={{3}^{x}}.\ln 3+{{a}^{x}}.\ln a-{{6}^{x}}.\ln 6-{{9}^{x}}.\ln 9.\)

Để \(f\left( x \right)\ge 0;\,\,\forall x\in \mathbb{R}\)\(\Leftrightarrow \)\(\underset{\mathbb{R}}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)=0=f\left( 0 \right).\) Hay \({f}'\left( 0 \right)=0\Leftrightarrow \,\,\ln a=\ln \frac{6\,\,\times \,\,9}{3}\Rightarrow a=18.\)

Chọn B