Cho x, y là các số thực thỏa mãn \({\left( {x - 3}...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Từ phương trình \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 5\) thế \(6x + 2y = {x^2} + {y^2} + 5\) vào P.

Phân tích tử theo mẫu và rút gọn.

Đặt ẩn phụ. Sử dụng các bất đẳng thức Buniacopxki để tìm điều kiện của ẩn phụ và sử dụng BĐT Cauchy để đánh giá GTNN của P.

Giải chi tiết:

Từ giả thiết ta có \({x^2} - 6x + 9 + {y^2} - 2y + 1 = 5 \Leftrightarrow 6x + 2y = {x^2} + {y^2} + 5\)

\(\begin{array}{l}P = \frac{{3{y^2} + 4xy + 7x + 4y - 1}}{{x + 2y + 1}} = \frac{{3{y^2} + 4xy + 6x + 2y + x + 2y - 1}}{{x + 2y + 1}}\\P = \frac{{{x^2} + 4{y^2} + 4xy + x + 2y + 4}}{{x + 2y + 1}} = \frac{{x\left( {x + 2y + 1} \right) + 2y\left( {x + 2y + 1} \right) + 4}}{{x + 2y + 1}}\\P = x + 2y + \frac{4}{{x + 2y + 1}}\end{array}\)

Đặt \(y = x + 2y \Rightarrow P = t + \frac{4}{{t + 1}}\).

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có : \({\left[ {\left( {x - 3} \right) + 2\left( {y - 1} \right)} \right]^2} \le \left( {{1^2} + {2^2}} \right)\left[ {{{\left( {x - 3} \right)}^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}} \right] = 25\)

\( \Rightarrow  - 5 \le \left( {x - 3} \right) + 2\left( {y - 1} \right) \le 5 \Leftrightarrow  \Rightarrow  - 5 \le x + 2y - 5 \le 5 \Leftrightarrow 0 \le t \le 10\)

Áp dụng BĐT Cauchy ta có \(t + 1 + \frac{4}{{t + 1}} \ge 4 \Leftrightarrow P \ge 3\). Dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow t + 1 = \frac{4}{{t + 1}} \Leftrightarrow t = 1\)

Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y = 1\\{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{17}}{5}\\y =  - \frac{6}{5}\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Chọn D.