Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đổi biến, đặt \(x =  - t\).

Giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}f\left( { - x} \right) + 2018f\left( x \right) = {e^x}\,\,\forall x \in \left[ { - 1;1} \right]\\ \Leftrightarrow \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( { - x} \right)dx}  + 2018\int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_{ - 1}^1 {{e^x}dx} \end{array}\)

Xét tích phân \(I = \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)dx} \).

Đặt \(x =  - t \Leftrightarrow dx =  - dt\)

\( \Rightarrow I =  - \int\limits_1^{ - 1} {f\left( { - t} \right)dt}  = \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( { - x} \right)dx} \)

\( \Rightarrow I + 2018I = \int\limits_{ - 1}^1 {{e^x}dx}  = \left. {{e^x}} \right|_{ - 1}^1 = e - \frac{1}{e} = \frac{{{e^2} - 1}}{e} \Rightarrow I = \frac{{{e^2} - 1}}{{2019e}}\)

Chọn C.