Trong không gian Oxyz, cho \(M\left( -1;...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Chứng minh : \(OM\bot \left( ABC \right)\)

- Viết phương trình mặt phẳng \(\left( ABC \right)\), là mặt phẳng đi qua M và nhận \(\overrightarrow{OM}\) là 1 VTPT.

- Tìm tọa độ giao điểm của (ABC) và các trục tọa độ, từ đó tính thể tích khối tứ diện OABC.

Giải chi tiết:

+) Ta có: 

\(AM\bot CB\)(vì M là trực tâm tam giác ABC)

\(OA\bot CB\) (vì \(OA\bot OB,\,\,OA\bot OC\Rightarrow OA\bot \left( OBC \right)\Leftrightarrow OA\bot BC\))

\(\Rightarrow BC\bot \left( OMA \right)\Rightarrow BC\bot OM\)

Tương tự, chứng minh được \(AC\bot OM\Rightarrow OM\bot \left( ABC \right)\)

+) Viết phương trình mặt phẳng \(\left( ABC \right)\):

\(M\left( -1;3;4 \right),\,\,\overrightarrow{OM}\left( -1;3;4 \right)\)

Phương trình mặt phẳng (ABC): \(-1\left( x+1 \right)+3\left( y-3 \right)+4\left( z-4 \right)=0\Leftrightarrow -x+3y+4z-26=0\)

+)  Tìm tọa độ các điểm A, B, C:

Cho \(y=z=0\Rightarrow x=26\Rightarrow A\left( 26;0;0 \right)\)

Cho \(x=z=0\Rightarrow y=\frac{26}{3}\Rightarrow B\left( 0;\frac{26}{3};0 \right)\)

Cho \(x=y=0\Rightarrow z=\frac{13}{2}\Rightarrow C\left( 0;0;\frac{13}{2} \right)\)

Thể tích khối tứ diện OABC :  \(V=\frac{1}{6}.26.\frac{26}{3}.\frac{13}{2}=\frac{2197}{9}\).

Chọn: C