Phương trình \(\cos 2x.\sin 5x + 1 = 0\) có bao nh...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đánh giá, giải nghiệm của phương trình.

Giải chi tiết:

Xét phương trình \(\cos 2x.\sin 5x + 1 = 0 \Leftrightarrow \cos 2x.\sin 5x =  - 1\) (1), ta có:

\(0 \le \left| {\cos 2x} \right| \le 1,\,\,0 \le \left| {\sin 5x} \right| \le 1,\,\,\forall x \Rightarrow 0 \le \left| {\cos 2x.\sin 5x} \right| \le 1,\,\,\forall x \Leftrightarrow  - 1 \le \cos 2x.\sin 5x \le 1,\,\,\forall x\)

\(\cos 2x.\sin 5x =  - 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\cos 2x = 1\\\sin 5x =  - 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}\cos 2x =  - 1\\\sin 5x = 1\end{array} \right.\end{array} \right.\)

TH1: \(\left\{ \begin{array}{l}\cos 2x = 1\\\sin 5x =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ {x = k\pi ,\,\,k \in Z} \right.\\\sin 5x =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x = k2\pi ,\,\,k \in Z\\x = \pi  + k2\pi ,\,\,k \in Z\end{array} \right.\\\sin 5x =  - 1\end{array} \right. \Rightarrow x \in \emptyset \)

TH2: \(\left\{ \begin{array}{l}\cos 2x =  - 1\\\sin 5x = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} + k\pi ,\,\,k \in Z\\\sin 5x = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} + k2\pi ,\,\,k \in Z\\x =  - \frac{\pi }{2} + k2\pi ,\,\,k \in Z\end{array} \right.\\\sin 5x = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi ,\,\,k \in Z\)

Mà \(x \in \left[ { - \frac{\pi }{2};2\pi } \right] \Rightarrow  - \frac{\pi }{2} \le \frac{\pi }{2} + k2\pi  \le 2\pi ,\,\,k \in Z \Leftrightarrow  - \frac{1}{2} \le k \le \frac{3}{4},\,\,k \in Z \Leftrightarrow k = 0\). Có 1 giá trị của k thỏa mãn.

Vậy, phương trình đã cho có 1 nghiệm trên đoạn \(\left[ { - \frac{\pi }{2};2\pi } \right]\).

Chọn: A