Hỏi có bao nhiêu giá trị m nguyên trong \...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đánh giá số nghiệm của phương trình bậc hai.

Giải chi tiết:

\(\log \left( {mx} \right) = 2\log \left( {x + 1} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x >  - 1\\mx = {\left( {x + 1} \right)^2}\end{array} \right.\) (I)

Ta thấy \(x = 0\) không phải nghiệm của, khi đó \((I) \Leftrightarrow \) \(\left\{ \begin{array}{l}x >  - 1\\m = \dfrac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{x} = x + \dfrac{1}{x} + 2\end{array} \right.\) (II)

Xét hàm số \(f\left( x \right) = x + \dfrac{1}{x} + 2,\,\,\,x \in \left( { - 1; + \infty } \right){\rm{\backslash }}\left\{ 0 \right\}\) có \(f'\left( x \right) = 1 - \dfrac{1}{{{x^2}}}\)

\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x =  - 1(L)\end{array} \right.\)

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biên thiên, ta có: phương trình đã cho có 1 nghiệm duy nhất \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m < 0\\m = 4\end{array} \right.\)

Mà \(m \in \mathbb{Z},\,\,m \in \left[ { - 2017;2017} \right] \Rightarrow m \in \left\{ { - 2017; - 2016;...; - 1} \right\} \cup \left\{ 4 \right\}\): Có 2018 giá trị của m thỏa mãn.

Chọn: D