Cho tứ diện \(SABC\) và \(G\) là trọng tâm của tứ...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+ Sử dụng tỉ số thể tích: Cho chóp tam giác \(S.ABC\) có \(M \in SA,N \in SB,P \in SC \Rightarrow \dfrac{{{V_{S.MNP}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{SM}}{{SA}}.\dfrac{{SN}}{{SB}}.\dfrac{{SP}}{{SC}}\)

+ Sử dụng tính chất: Cho tam giác \(ABC\) có trọng tâm \(G.\) Đường thẳng bất kì đi qua \(G\) cắt các cạnh \(AB,AC\) làn lượt tại \(M,N\). Khi đó ta có \(\dfrac{{AB}}{{AM}} + \dfrac{{AC}}{{AN}} = 3.\)

(Chứng minh tính chất trên như sau:

Qua B, C kẻ các đường thẳng song song với \(MN\) cắt đường thẳng \(AG\) tại \(K\) và \(I.\) Gọi \(D\) là trung điểm \(BC.\)

Theo định lý Ta-lét ta có \(\dfrac{{AB}}{{AM}} = \dfrac{{AI}}{{AG}};\dfrac{{AC}}{{AN}} = \dfrac{{AK}}{{AG}} \Rightarrow \dfrac{{AB}}{{AM}} + \dfrac{{AC}}{{AN}} = \dfrac{{AI}}{{AG}} + \dfrac{{AK}}{{AG}} = \dfrac{{AI + AK}}{{AG}}\) 

Mà \(\Delta IBD = \Delta KCD\left( {g - c - g} \right) \Rightarrow KD = ID\)

\( \Rightarrow AI + AK = AD + DI + AK = AD + KD + AK = AD + AD = 2AD = 2.\dfrac{3}{2}AG = 3AG\)

Do đó \(\dfrac{{AB}}{{AM}} + \dfrac{{AC}}{{AN}} = \dfrac{{AI + AK}}{{AG}} = \dfrac{{3AG}}{{AG}} = 3.\) )

+ Sử dụng bất đẳng thức Cô-si để tìm giá trị nhỏ nhất.

+ Lưu ý rằng trọng tâm tứ diện là giao của 4 đường thẳng nối đỉnh và trọng tâm tam giác đối diện.

Giải chi tiết:

Đặt \(\dfrac{{SM}}{{SB}} = a;\,\dfrac{{SN}}{{SC}} = b\,\,\left( {0 < a;b < 1} \right)\)

Lấy \(E\) là trung điểm \(BC\).

Trong \(\left( {SAE} \right)\), kéo dài \(AG\) cắt \(SE\) tại \(I\). Khi đó \(I \in MN\) và \(I\) là trọng tâm tam giác \(SBC.\)

Khi đó trong tam giác \(SBC\) ta luôn có \(\dfrac{{SB}}{{SM}} + \dfrac{{SC}}{{SN}} = 3\) (tính chất đã được chứng minh ở trên)

Lại có \(\dfrac{{{V_{S.AMN}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{SA}}{{SA}}.\dfrac{{SM}}{{SB}}.\dfrac{{SN}}{{SC}} = ab\)

Ta có \(\dfrac{{SB}}{{SM}} + \dfrac{{SC}}{{SN}} = 3\) \( \Leftrightarrow \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} = 3.\)

Xét \(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}\mathop  \ge \limits^{C\^o  - si} \dfrac{2}{{\sqrt {ab} }} \Leftrightarrow \sqrt {ab}  \ge \dfrac{2}{{\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}}} = \dfrac{2}{3} \Leftrightarrow ab \ge \dfrac{4}{9}\)

Dấu = xảy ra khi \(a = b = \dfrac{2}{3}\) .

Từ đó \(\dfrac{{{V_{S.AMN}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = ab \ge \dfrac{4}{9}\)  hay tỉ số \(\dfrac{{{V_{S.AMN}}}}{{{V_{S.ABC}}}}\)  nhỏ nhất là bằng \(\dfrac{4}{9}.\)

Chọn D.