Cho lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác vuô...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Xác định góc \({60^0}\) (góc giữa hai đường thẳng cùng vuông góc với giao tuyến).

- Tính diện tích đáy và chiều cao rồi suy ra thể tích theo công thức \(V = Sh\).

Giải chi tiết:

Gọi \(D,E\) lần lượt là hình chiếu của \(H,A\) lên \(BC\).

Ta thấy: \(\left\{ \begin{array}{l}HD \bot BC\\A'H \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow \left( {A'HD} \right) \bot BC \Rightarrow A'D \bot BC\).

Khi đó \(\left( {A'BC} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) chính là góc giữa hai đường thẳng \(A'D\) và \(HD\) hay \(\angle A'DH = {60^0}\).

Xét tam giác vuông \(ABC\) có \(AB \bot AC \Rightarrow BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}}  = \sqrt {{a^2} + 2{a^2}}  = a\sqrt 3 \).

Nên \(AE = \frac{{AB.AC}}{{BC}} = \frac{{a.a\sqrt 2 }}{{a\sqrt 3 }} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\) suy ra \(HD = \frac{1}{2}AE = \frac{1}{2}.\frac{{a\sqrt 6 }}{3} = \frac{{a\sqrt 6 }}{6}\).

Từ đó \(A'H = HD.\tan {60^0} = \frac{{a\sqrt 6 }}{6}.\sqrt 3  = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Vậy \({V_{ABC.A'B'C'}} = {S_{ABC}}.A'H = \frac{1}{2}AB.AC.A'H = \frac{1}{2}a.a\sqrt 2 .\frac{{a\sqrt 2 }}{2} = \frac{{{a^3}}}{2}\).

Chọn B.