Cho hai số thực dương \(x;y\) thỏa mãn \({2^{\ln \...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Sử dụng \({5^{\ln 2}} = {2^{\ln 5}}\), chia cả 2 vế cho \({5^{\ln \left( {x + y} \right)}} > 0\), tìm mối quan hệ giữa x và y.

+) Thế x theo y vào biểu thức P, đưa P về dạng \(P = f\left( x \right)\). Tìm GTLN của \(f\left( x \right)\).

Giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}{2^{\ln \left( {\frac{{x + y}}{2}} \right)}}{.5^{\ln \left( {x + y} \right)}} = {2^{\ln 5}} \Leftrightarrow {2^{\ln \left( {\frac{{x + y}}{2}} \right)}}{.5^{\ln \left( {x + y} \right)}} = {5^{\ln 2}}\\ \Leftrightarrow {2^{\ln \left( {\frac{{x + y}}{2}} \right)}} = {5^{\ln 2 - \ln \left( {x + y} \right)}} = {5^{\ln \frac{2}{{x + y}}}} = {5^{ - \ln \frac{{x + y}}{2}}} = {\left( {\frac{1}{5}} \right)^{\ln \frac{{x + y}}{2}}}\\ \Leftrightarrow \ln \left( {\frac{{x + y}}{2}} \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{{x + y}}{2} = 1 \Leftrightarrow x + y = 2\end{array}\)

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}P = \left( {x + 1} \right)\ln x + \left( {y + 1} \right)\ln y = \left( {x + 1} \right)\ln x + \left( {2 - x + 1} \right)\ln \left( {2 - x} \right)\\P = \left( {x + 1} \right)\ln x + \left( {3 - x} \right)\ln \left( {2 - x} \right) = f\left( x \right)\end{array}\)

ĐK: \(0 < x < 2\).

Xét hàm số  \(f\left( x \right) = \left( {x + 1} \right)\ln x + \left( {3 - x} \right)\ln \left( {2 - x} \right)\), sử dụng MTCT ta tìm được \(\mathop {\max }\limits_{\left( {0;2} \right)} f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 1\)   

Vậy \({P_{\max }} = 0 \Leftrightarrow x = y = 1\).

Chọn B.