Cho parabol \(\left( P \right):y = {x^2} + 1\) và...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right),y = g\left( x \right),x = a,x = b\) là \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} .\)

Giải chi tiết:

Phương trình hoành độ giao điểm d và (P): \({x^2} + 1 = mx + 2 \Leftrightarrow {x^2} - mx - 1 = 0\,\,\left( 1 \right)\)

Có:  \(\Delta  = {m^2} + 4 > 0 \Rightarrow \) Phương trình trên luôn có 2 nghiệm phân biệt.

Vậy d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B với mọi m.

Giả sử A, B lần lượt  có hoành độ là a, b nên A(a; ma+2) và B(b; mb+2) (a < b)

Mọi m đường thẳng d luôn đi qua điểm (0; 2) và y_CT = 1 nên \(mx + 2 \ge {x^2} + 1\,\,\forall x \in \left( {a;b} \right)\)

Do đó: diện tích hình phẳng giới hạn bởi d và (P).

\(\eqalign{  & S = \int_a^b {\left( {mx + 2 - {x^2} - 1} \right)dx = \int_a^b {\left( {mx - {x^2} + 1} \right)dx = \left. {\left( {{{m{x^2}} \over 2} - {{{x^3}} \over 3} + x} \right)} \right|_a^b} }   \cr   & \,\,\,\, = \left( {b - a} \right)\left[ {{m \over 2}\left( {a + b} \right) + 1 - {1 \over 3}\left( {{a^2} + {b^2} + ab} \right)} \right]  \cr   & \,\,\,\, = \left( {b - a} \right)\left[ {{m \over 2}\left( {b + a} \right) + 1 - {1 \over 3}{{\left( {a + b} \right)}^2} + {1 \over 3}ab} \right]  \cr   &  \Rightarrow {S^2} = {\left( {b - a} \right)^2}{\left[ {{m \over 2}\left( {b + a} \right) + 1 - {1 \over 3}{{\left( {a + b} \right)}^2} + {1 \over 3}ab} \right]^2}  \cr   & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left[ {{{\left( {a + b} \right)}^2} - 4ab} \right]{\left[ {{m \over 2}\left( {b + a} \right) + 1 - {1 \over 3}{{\left( {a + b} \right)}^2} + {1 \over 3}ab} \right]^2}. \cr} \)

Vì a, b là nghiêm của pt(1) nên theo định lí Vi-et ta có: \(\left\{ \matrix{  a + b = m \hfill \cr   ab =  - 1 \hfill \cr}  \right.\)

Suy ra \({S^2} = {\left( {{m^2} + 4} \right)^2}{\left( {{{{m^2}} \over 6} + {2 \over 3}} \right)^2} \ge 4.{4 \over 9} = {{16} \over 9} \Rightarrow S \ge \sqrt {{{16} \over 9}}  = {4 \over 3}.\)

Dấu “=” xảy ra khi m = 0.

Chọn B.