Cho Elip \((E):\,\,{{{x^2}} \over {25}} + {{{y^2}}...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Xác định các hệ số a, b, c.

Sử dụng các công thức \(M{F_1} = a + {c \over a}{x_0},\,\,M{F_2} = a - {c \over a}{x_0},\,\,{F_1}{F_2} = 2c\)

Áp dụng định lí Cosin trong tam giác \(M{F_1}{F_2}\)

Giải chi tiết:

Gọi \(M({x_0};{y_0}) \in (E) \Rightarrow \,{{{x_0}^2} \over {25}} + {{{y_0}^2} \over 4} = 1\).

\((E):\,\,{{{x^2}} \over {25}} + {{{y^2}} \over 4} = 1 \Rightarrow a = 5,\,b = 2\)

Mà \({a^2} - {b^2} = {c^2} \Rightarrow {c^2} = {5^2} - {2^2} = 21 \Rightarrow c = \sqrt {21} \)

\({F_1}{F_2} = 2c = 2\sqrt {21} \)

\(M{F_1} = a + {c \over a}{x_0} = 5 + {{\sqrt {21} } \over 5}{x_0};\,\,\,\,M{F_2} = a - {c \over a}{x_0}\, = 5 - {{\sqrt {21} } \over 5}{x_0}\)

Điểm \(M \in (E)\) nhìn 2 tiêu điểm dưới một góc \({120^0} \Rightarrow \widehat {{F_1}M{F_2}} = {120^0}\)

Áp dụng định lý Côsin, ta có: \({F_1}{F_2}^{2\;} = {\rm{ }}M{F_1}^2 + {\rm{ }}M{F_2}^2 - {\rm{ }}2M{F_1}.M{F_2}\cos {120^0}\)

\(\eqalign{  &  \Leftrightarrow {\left( {2\sqrt {21} } \right)^2} = {\left( {5 + {{\sqrt {21} } \over 5}{x_0}} \right)^2} + {\left( {5 - {{\sqrt {21} } \over 5}{x_0}} \right)^2} - 2\left( {5 + {{\sqrt {21} } \over 5}{x_0}} \right)\left( {5 - {{\sqrt {21} } \over 5}{x_0}} \right)\cos {120^0}  \cr   &  \Leftrightarrow 84 = {\left( {5 + {{\sqrt {21} } \over 5}{x_0}} \right)^2} + {\left( {5 - {{\sqrt {21} } \over 5}{x_0}} \right)^2} - 2\left( {5 + {{\sqrt {21} } \over 5}{x_0}} \right)\left( {5 - {{\sqrt {21} } \over 5}{x_0}} \right).{{ - 1} \over 2}  \cr   &  \Leftrightarrow 84 = 25 + 2\sqrt {21} {x_0} + {{21{x_0}^2} \over {25}} + 25 - 2\sqrt {21} {x_0} + {{21{x_0}^2} \over {25}} + 25 - {{21{x_0}^2} \over {25}}  \cr   &  \Leftrightarrow {{21{x_0}^2} \over {25}} = 9 \Leftrightarrow {x_0}^2 = {{75} \over 7} \Leftrightarrow {x_0} =  \pm \sqrt {{{75} \over 7}}  \cr} \)

 Ta có: \({{{x_0}^2} \over {25}} + {{{y_0}^2} \over 4} = 1 \Rightarrow {{{{75} \over 7}} \over {25}} + {{{y_0}^2} \over 4} = 1 \Leftrightarrow {y_0}^2 = {{16} \over 7} \Leftrightarrow {y_0} =  \pm {4 \over {\sqrt 7 }}\)

Vậy, có 4 điểm M thoả mãn yêu cầu đề bài là:

\({M_1}\left( {\sqrt {{{75} \over 7}} ;{4 \over {\sqrt 7 }}} \right);\,\,{M_2}\left( {\sqrt {{{75} \over 7}} ; - {4 \over {\sqrt 7 }}} \right);\,\,{M_3}\left( { - \sqrt {{{75} \over 7}} ;{4 \over {\sqrt 7 }}} \right);\,\,{M_4}\left( { - \sqrt {{{75} \over 7}} ; - {4 \over {\sqrt 7 }}} \right)\)

Chọn: D.