Giải hệ phương trình \(\left\{ \matrix{2A_x^y + 5C...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Áp dụng các công thức chỉnh hợp, tổ hợp \(A_n^k = {{n!} \over {\left( {n - k} \right)!}}\,;\,C_n^k = {{n!} \over {k!\left( {n - k} \right)!}}\) và mối quan hệ giữa các công thức chỉnh hợp và tổ hợp \(C_n^k = {{A_n^k} \over {k!}}\).

Giải chi tiết:

ĐK: \(x \ge y \ge 0,x,y \in N\).

Đặt \(a = A_x^y\,\,;\,\,y = C_x^y\( ta được \(\left\{ \matrix{  2x + 5y = 90 \hfill \cr   5x - 2y = 80 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  a = 20 \hfill \cr   b = 10 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  A_x^y = 20 \hfill \cr   C_x^y = 10 \hfill \cr}  \right.\)

Ta có: \(C_x^y = {{A_x^y} \over {y!}} \Leftrightarrow 10 = {{20} \over {y!}} \Leftrightarrow y! = 2 \Leftrightarrow y = 2\).

\(\eqalign{  &  \Rightarrow C_x^2 = 20 \Leftrightarrow {{x!} \over {\left( {x - 2} \right)!}} = 20 \Leftrightarrow x\left( {x - 1} \right) = 20  \cr   &  \Leftrightarrow {x^2} - x - 20 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{  x = 5\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right) \hfill \cr   x =  - 4\,\,\left( {ktm} \right) \hfill \cr}  \right.  \cr   &  \Rightarrow xy = 5.2 = 10 \cr} \)

Chọn C.