Cho hình thoi MNPQ. Biết A, B, C, D lần lượt là cá...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Chứng minh tứ giác ABCD là hình chữ nhật, từ đó lập công thức tính diện tích hình chữ nhật ABCD, lập công thức tính diện tích hình thoi MNPQ, lập tỉ số diện tích hai hình.

Từ tỉ số diện tích suy ra diện tích hình ABCD.

Giải chi tiết:

a) Xét tam giác MNP có:

\(MA=AN;\,NB=BP(gt)\Rightarrow \) AB là đường trung bình của tam giác MNP

\(\Rightarrow AB=\frac{1}{2}MP;\,AB\parallel MP\,(1)\) (tính chất đường trung bình của tam giác).

Xét tam giác MQP có:

\(MD=DQ;\,PC=CQ(gt)\Rightarrow \) CD là đường trung bình của tam giác MQP

\(\Rightarrow CD=\frac{1}{2}MP;\,CD\parallel MP\,(2)\) (tính chất đường trung bình của tam giác).

Xét tam giác MNQ có: \(MA=AN;\,MD=DQ(gt)\Rightarrow \) AD là đường trung bình của tam giác MNQ

\(\Rightarrow AD=\frac{1}{2}NQ;\,AD\parallel NQ\) (tính chất đường trung bình của tam giác).

Từ (1) và (2) suy ra \(AB=CD;AB\parallel CD\Rightarrow \) ABCD là hình bình hành (dhnb).

Ta có: \(AB\parallel MP(cmt);\,NQ\bot MP(gt)\Rightarrow AB\bot NQ\) .

Mặt khác \(AD\parallel NQ(cmt)\) 

Suy ra \(AD\bot AB\Rightarrow \widehat{DAB}=90{}^\circ \)

Hình bình hành ABCD có \(\widehat{DAB}=90{}^\circ \) nên là hình chữ nhật (dhnb).

Diện tích hình thoi MNPQ là: \({{S}_{MNPQ}}=\frac{1}{2}MP.NQ\,(3)\)

Diện tích hình chữ nhật ABCD là:

\({{S}_{ABCD}}=AB.AD \\ =\frac{1}{2}MP.\frac{1}{2}NQ=\frac{1}{4}MP.NQ\,(4)\)

Từ (3) và (4) suy ra \(\frac{{{S}_{ABCD}}}{{{S}_{MNPQ}}}=\frac{1}{2}\)

b) Ta có:

\(\frac{{{S}_{ABCD}}}{{{S}_{MNPQ}}}=\frac{1}{2}\Rightarrow {{S}_{ABCD}} \\ =\frac{1}{2}{{S}_{MNPQ}}=\frac{1}{2}.50=25\left( c{{m}^{2}} \right)\)