Tổng các hệ số trong khai triển \({{\left( \frac{1...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Sử dụng công thức khai triển nhị thức Newton: \({{\left( a+b \right)}^{n}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}{{a}^{k}}{{b}^{n-k}}}\).

- Viết tông các hệ số và sử dụng nhị thức Newton để tính tổng đó tìm n.

- Thay lại n vào khai triển ban đầu và tìm hệ số của \({{x}^{5}}\) bằng cách cho số mũ của x bằng 5.

Giải chi tiết:

\({{\left( \frac{1}{x}+{{x}^{4}} \right)}^{n}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}{{1}^{k}}{{x}^{-k}}{{x}^{4n-4k}}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}{{x}^{4n-5k}}}.\)

Tổng các hệ số trong khai triển trên là :

\(S=C_{n}^{0}+C_{n}^{1}+C_{n}^{2}+....+C_{n}^{n}={{\left( 1+1 \right)}^{n}}=1024\Leftrightarrow {{2}^{n}}=1024\Rightarrow n=10.\)

 \(\Rightarrow {{\left( \frac{1}{x}+{{x}^{4}} \right)}^{10}}=\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{10}^{k}{{x}^{40-5k}}}.\)

Tìm hệ số của \({{x}^{5}}\Leftrightarrow 40-5k=5\Leftrightarrow k=7.\)

Vậy hệ số của \({{x}^{5}}\) là: \(C_{10}^{7}=120.\)

Chọn A.