a)      Cho 3 số a, b, c thỏa mãn: a + b + c = 0 v...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

a)      Trong 2 số a, b, c có ít nhất 2 số cùng dấu nên ta giả sử đó là a và b và 2 số này không âm. Như vậy: \(a,\ b\ge 0\to c=-a-b\le 0\)

Vì: \(-1\le a,b,c\le 1\Rightarrow {{a}^{4}}+{{b}^{6}}+{{c}^{8}}\le \left| a \right|+\left| b \right|+\left| c \right|=-2c\le 2\)

Đẳng thức xảy ra khi: \(a=0,\ b=1,\ c=-1.\)

Các trường hợp khác chứng minh tương tự.

Vậy ta có điều phải chứng minh.

b)      Ta có: \(T=\frac{{{x}^{3}}+{{y}^{3}}-{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}{(x-1)(y-1)}=\frac{{{x}^{2}}(x-1)+{{y}^{2}}(y-1)}{(x-1)(y-1)}=\frac{{{x}^{2}}}{y-1}+\frac{{{y}^{2}}}{x-1}\)

Áp dụng bất đẳng thức quen thuộc sau:

\(\frac{{{a}^{2}}}{x}+\frac{{{b}^{2}}}{y}\ge \frac{{{(a+b)}^{2}}}{x+y}\) (1 biến thể của bất đẳng thức Bunhiacopski).

Ta có:

\(\begin{array}{l}
T \ge \frac{{{{(x + y)}^2}}}{{x - 1 + y - 1}} = \frac{{{{(x + y)}^2} - 4}}{{x + y - 2}} + \frac{4}{{x + y - 2}}\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \frac{{\left( {x + y + 2} \right)\left( {x + y - 2} \right)}}{{x + y - 2}} + \frac{4}{{x + y - 2}}\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = x + y + 2 + \frac{4}{{x + y - 2}}\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = x + y - 2 + \frac{4}{{x + y - 2}} + 4.
\end{array}\)

Áp dụng bất đẳng thức Co-si ta có:

\(x+y-2+\frac{4}{x+y-2}+4\ge 2\sqrt{(x+y-2)\frac{4}{x+y-2}}+4=2.2+4=8\)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=2.\)

Vậy \(Min\ T=8\ \ khi\ \ x=y=2.\)