Cho tứ diện đều \(ABCD\) có cạnh bằng \(a.\) Tính...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Bước 1. Gọi \(M,\,I\) lần lượt là trung điểm của \(CD,\,AB.\) Chứng minh \(d\left( {AB,CD} \right) = MI.\)

Bước 2. Tính \(MI.\)

Giải chi tiết:

Gọi \(M,\,I\) lần lượt là trung điểm của \(CD,\,AB.\) Khi đó do tứ diện \(ABCD\) là tứ diện đều nên \(\Delta ACD\) là tam giác đều.

Kéo theo \(AM \bot CD.\) Tương tự ta có \(BM \bot CD.\) Vì vậy \(CD \bot \left( {ABM} \right).\)

Do các tam giác \(\Delta ACD,\,\Delta BCD\) là các tam giác đều có cạnh chung \(CD\) và \(M\) là trung điểm \(CD\) nên \(AM = BM.\) Do đó \(\Delta ABM\) cân tại \(M.\) Vì vậy \(IM\) là trung tuyến đồng thời là đường cao. Suy ra \(IM \bot AB.\)

Lại có

\(\left\{ \begin{array}{l}MI \in \left( {ABM} \right)\\\left( {ABM} \right) \bot CD\end{array} \right. \Rightarrow MI \bot CD.\)

 Kết hợp điều này với \(MI \bot AB\) ta nhận được \(d\left( {AB,CD} \right) = MI.\)

Ta có \(MI = \sqrt {B{M^2} - B{I^2}}  = \sqrt {{{\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)}^2}}  = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}.\)

Chọn C.