Cho hình hộp thoi ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh...

B

- Hướng dẫn giải

+ Gọi O là giao điểm của AC và BD $\Rightarrow$ O là trung điểm của AC và BD

Ta có: A’B = A’D (đường chéo các hình thoi bằng nhau)

  $\Rightarrow$Tam giác A’BD cân tại A’ có O là trung điểm của BD $\Rightarrow$ A’O $\perp$ BD.

+ Hạ A’H $\perp$ AC, H $\in$ AC

Ta có $\left.\begin{array}{l}BD\perp AC\\ BD\perp A\text{'}O\end{array}\right\}\Rightarrow BD\perp \left(AOA\text{'}\right)\Rightarrow$ A’H $\perp$ BD

Do đó:  A’H $\perp$(ABCD)

Vì (ABCD) // (A’B’C’D’) nên A’H chính là khoảng cách giữa hai mặt đáy.

+ Tính A’H

Áp dụng định lí cosin vào tam giác ADC có:

  AC = $\sqrt{A{D}^2+C{D}^2-2.AD.CD.\cos 120°}=a\sqrt{3}$$\Rightarrow$ AO = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Theo giả thiết, ta suy ra:  A'D= AA' = AB =  BD = a 

$\Rightarrow$ hình chóp A’.ABD là hình chóp đều, nên điểm H - hình chiếu của A' lên (ABD) là tâm tam giác đều ABD.

suy ra: 

AH = 2/3 AO = $\frac{a\sqrt{3}}{3}$

A’H = $\sqrt{A\text{'}{A}^2-A{H}^2}=\sqrt{a^2-\frac{a^2}{3}}=\frac{a\sqrt{6}}{3}$

Vậy khoảng cách giữa hai đáy (ABCD) và (A’B’C’D’) là $\frac{a\sqrt{6}}{3}$.

Đáp án B