Tìm tập hợp các giá trị thực của m sao cho b...

A. $[\frac{1}{\sqrt{\ln 2}}; + \infty)$

B. $[\frac{9}{2} - \log_{2} 3; + \infty)$

C. $[\frac{1}{2}; + \infty)$

D. $[\frac{1}{\sqrt{\ln 2}} + \frac{1}{2} \log_{2} (\ln 2); + \infty)$

Đáp án

- Hướng dẫn giải

Đáp án D

Bất phương trình

$\log_{2} x + m \geq \frac{1}{2} x^{2} \Leftrightarrow m \geq \frac{1}{2} x^{2} - \log_{2} x (*) .$

Xét hàm số $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - \log_{2} x$ với $x \in [1; 3],$

ta có $f' (x) = x - \frac{1}{x . \ln 2} = \frac{x^{2} . \ln 2 - 1}{x . \ln 2} .$

Phương trình

$f' (x) = 0 \Leftrightarrow x^{2} . \ln 2 - 1 = 0 \Leftrightarrow x^{2} = \frac{1}{\ln 2} \Leftrightarrow x = \frac{1}{\sqrt{\ln 2}} .$

Tính các giá trị

$f (1) = \frac{1}{2}; f (\frac{1}{\sqrt{\ln 2}}) = \frac{1}{2 \ln 2} + \frac{1}{2} \log_{2} (\ln 2); f (3) = \frac{9}{2} - \log_{2} 3.$

Dựa vào BBT, suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) là

$f (\frac{1}{\sqrt{\ln 2}}) = \frac{1}{2 \ln 2} + \frac{1}{2} \log_{2} (\ln 2) .$

Khi đó, bất phương trình (*) có nghiệm

$x \in [1; 3] \Leftrightarrow m \geq \frac{1}{2 \ln 2} + \frac{1}{2} \log_{2} (\ln 2) .$

Câu hỏi trên thuộc đề trắc nghiệm