Cho biểu thức 

- Hướng dẫn giải

Ta có: $M=\frac{x^2+x+1}{{\left(x+1\right)}^2}=\frac{x^2+2x+1}{{\left(x+1\right)}^2}-\frac{x+1}{{\left(x+1\right)}^2}+\frac{1}{{\left(x+1\right)}^2}=1-\frac{1}{x+1}+\frac{1}{{\left(x+1\right)}^2}$  (1)

Đặt $y=\frac{1}{x+1}$,  khi đó (1) trở thành: $y^2-y+1={\left(y-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}\ge \frac{3}{4}$ 

Dấu “=” xảy ra khi y = 1$\iff y-\frac{1}{2}=0\iff y=\frac{1}{2}\iff \frac{1}{x+1}=\frac{1}{2}\iff 2=x+1\iff x=1$

Vậy M$\ge \frac{3}{4}$