Với k,n∈N,2≤k≤n thì giá trị của biểu thức

Câu hỏi: Với k,n∈N,2≤k≤n thì giá trị của biểu thức $A = C_{k}^{n} + 4 C_{n}^{k - 1} + 6 C_{n}^{k - 2} + 4 C_{n}^{k - 3} + C_{n}^{k - 4} - C_{n + 4}^{k} + 1$ bằng?

A. A=0.

B. A=1.

C. A=3.

D. A=-1.

Đáp án

- Hướng dẫn giải

Đáp án cần chọn là: B

Trước hết ta chứng minh công thức $C_{k}^{n} + C_{n}^{k + 1} = C_{n + 1}^{k + 1}$

$V T = C_{n}^{k} + C_{n}^{k + 1} = \frac{n!}{k! (n - k)!} + \frac{n!}{(k + 1)! (n - k - 1)!} = \frac{n!}{k! (n - k - 1)!} (\frac{1}{n - k} + \frac{1}{k + 1}) = \frac{n!}{k! (n - k - 1)!} . \frac{k + 1 + n - k}{(n - k) (k + 1)} = \frac{n! (n + 1)}{k! (k + 1) (n - k - 1)! (n - k)} = \frac{(n + 1)!}{(k + 1)! (n - k)!} = C_{n + 1}^{k + 1} = V P$

Ta tính giá trị của biểu thức B sau đây:

$B = C_{n}^{k} + 4 C_{n}^{k - 1} + 6 C_{n}^{k - 2} + 4 C_{n}^{k - 3} + C_{n}^{k - 4} = C_{n}^{k} + C_{n}^{k - 1} + 3 (C_{n}^{k - 1} + C_{n}^{k - 2}) + 3 (C_{n}^{k - 2} + C_{n}^{k - 3}) + C_{n}^{k - 3} + C_{n}^{k - 4} = C_{n + 1}^{k} + 3 C_{n + 1}^{k - 1} + 3 C_{n + 1}^{k - 2} + C_{n + 1}^{k - 3} = C_{n + 1}^{k} + C_{n + 1}^{k - 1} + 2 (C_{n + 1}^{k - 1} + C_{n + 1}^{k - 2}) + C_{n + 1}^{k - 2} + C_{n + 1}^{k - 3} = C_{n + 2}^{k} + 2 C_{n + 2}^{k - 1} + C_{n + 2}^{k - 2} = (C_{n + 2}^{k} + C_{n + 2}^{k - 1}) + (C_{n + 2}^{k - 1} + C_{n + 2}^{k - 2}) = C_{n + 3}^{k} + C_{n + 3}^{k - 1} = C_{n + 4}^{k}$

$\Rightarrow A = B - C_{n + 4}^{k} + 1 = C_{n + 4}^{k} - C_{n + 4}^{k} + 1 = 1$

Câu hỏi trên thuộc đề trắc nghiệm

Trắc nghiệm Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp có đáp án (Vận dụng) !!

↑

Với k,n∈N,2≤k≤n thì giá trị của biểu thức

Câu hỏi: Với k,n∈N,2≤k≤n thì giá trị của biểu thức A=Ckn+4Cnk-1+6Cnk-2+4Cnk-3+Cnk-4-Cn+4k+1 bằng?

Câu hỏi: Với k,n∈N,2≤k≤n thì giá trị của biểu thức $A = C_{k}^{n} + 4 C_{n}^{k - 1} + 6 C_{n}^{k - 2} + 4 C_{n}^{k - 3} + C_{n}^{k - 4} - C_{n + 4}^{k} + 1$ bằng?