Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’  có đáy là tam giác đ...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Xác định mặt phẳng \(\left( \alpha  \right) \bot a\) tại A và \(\left( \alpha  \right)\) cắt b

+) Chiếu vuông góc b xuống \(\left( \alpha  \right)\) được b’

+) Kẻ \(AH \bot b'\), dựng hình chữ nhật A Dễ dàng chứng PK là đoạn vuông góc chung của a và b HKP

* Trường hợp đặc biệt: \(\left\{ \begin{array}{l}a \bot \left( \alpha \right)\\b \in \left( \alpha \right)\end{array} \right.\)

Dựng \(AH \bot b \Rightarrow AH\) chính là đoạn vuông góc chung của a và b

Giải chi tiết:

Gọi M là trung điểm của BC , dựng \(MN \bot AA'\) tại N   (1)

Gọi O là trọng tâm của \(\Delta ABC \Rightarrow \) O là hình chiếu của A ‘ lên (ABC) \( \Rightarrow A'O \bot BC\) và \(AM \bot BC\) (vì tam giác ABC đều)

\( \Rightarrow BC \bot \left( {A'MA} \right) \Rightarrow BC \bot MN\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \) MN là đường vuông chung của AA’ và BC.

 Kẻ OP // MN \( \Rightarrow \frac{{OP}}{{MN}} = \frac{{AO}}{{AM}} = \frac{2}{3}\)

\(\begin{array}{l}{{\rm{S}}_{\Delta {\rm{ABC}}}} = \frac{{\sqrt 3 {{\rm{a}}^2}}}{4} \Rightarrow OA' = \frac{{{V_{ABC.A'B'C'}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = a\\OA = \frac{2}{3}AM = \frac{2}{3}\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\end{array}\)

Xét \(\Delta A'OA\) vuông tai O, đường cao OP

 \(\frac{1}{{O{P^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{OA{'^2}}}\; = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{3}{{{a^2}}} = \frac{4}{{{a^2}}} \Rightarrow OP = \frac{a}{2} \Rightarrow MN = \frac{3}{2}OP = \frac{3}{2}.\frac{a}{2} = \frac{{3a}}{4}\)

Đáp án C.