Cho hình chóp \(S.ABCD\)có đáy là hình thoi cạnh

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Qua H dựng đường thẳng HK song song SA (H là chân đường cao từ S tới (ABCD)), tính góc giữa HK và (SCD).

Giải chi tiết:

Gọi O là tâm hình thoi ABCD, H là trọng tâm tam giác ABD.

Tam giác ABD có: AB = AD (do ABCD là hình thoi), \(\widehat {BAD} = {60^0}\)

\( \Rightarrow \Delta ABD\) đều \( \Rightarrow H\)là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác.

Hình chóp S.ABD có : \(SA = SB = SD = a \Rightarrow SH \bot (ABD)\).

Dựng HK // SA \(\left( {K \in SC} \right)\), \(HI \bot SD\,\,(I \in SD)\).

Mà \(HD \bot CD\) ( do \(\widehat {HDC} = \widehat {HDO} + \widehat {ODC} = {30^0} + {60^0} = {90^0}\))

\( \Rightarrow CD \bot \left( {SHD} \right) \Rightarrow CD \bot HI\).

\( \Rightarrow HI \bot (SCD)\)

\(\left( {\widehat {SA;(SCD)}} \right) = \left( {\widehat {HK;(SCD)}} \right) = \widehat {\left( {HK;KI} \right)} = \widehat {HKI}\)

+) HK // SA \( \Rightarrow \frac{{HK}}{{SA}} = \frac{{HC}}{{AC}} = \frac{2}{3} \Rightarrow HK = \frac{2}{3}a\)

+) Tứ diện S.ABD đều, có cạnh bằng a \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}HD = \frac{2}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{a}{{\sqrt 3 }}\\AH = \frac{2}{3}.OA = \frac{2}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\\SH = \sqrt {S{A^2} - A{H^2}}  = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\end{array} \right.\)

+) Tam giác SHD vuông tại H , \(HI \bot SD \Rightarrow \frac{1}{{H{I^2}}} = \frac{1}{{S{H^2}}} + \frac{1}{{H{D^2}}} = \frac{1}{{\frac{{2{a^2}}}{3}}} + \frac{1}{{\frac{{{a^2}}}{3}}} = \frac{9}{{2{a^2}}} \Rightarrow HI = \frac{{a\sqrt 2 }}{3}\)

+) Tam giác HIK vuông tại I \( \Rightarrow \sin \widehat {HKI} = \frac{{HI}}{{HK}} = \frac{{\frac{{a\sqrt 2 }}{3}}}{{\frac{{2a}}{3}}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \widehat {HKI} = {45^0} \Rightarrow \left( {\widehat {SA;\left( {SCD} \right)}} \right) = {45^0}\)

Chọn: D