Cho tứ giác đều ABCD có cạnh bằng a

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Gọi I là giao điểm của AC và ME, J là giao điểm cảu AD và MF

Khi đó, thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MEF) là tam giác MIJ

Tam giác ABE có: ME, AC là trung tuyến, \(I = AC \cap ME\)

\( \Rightarrow \)I là trọng tâm tam giác ABE \( \Rightarrow \frac{{AI}}{{AC}} = \frac{2}{3},\,\,\frac{{MI}}{{ME}} = \frac{1}{3}\)     \(\)

Tam giác \(BME\) có: \(M{E^2} = B{M^2} + B{E^2} - 2.BM.BE.\cos \widehat B\)

\( = {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} + {\left( {2a} \right)^2} - 2.\frac{a}{2}.2a.\cos {60^0} = \frac{{13}}{4}{a^2}\) \( \Rightarrow ME = \frac{{\sqrt {13} a}}{2}\)

 \( \Rightarrow MI = \frac{1}{3}.\frac{{\sqrt {13} a}}{2} = \frac{{\sqrt {13} a}}{6}\)

Tương tự, \(MJ = \frac{{\sqrt {13} a}}{6} = MI\)

Mặt khác, do \(\frac{{AI}}{{AC}} = \frac{{AJ}}{{AD}} = \frac{2}{3} \Rightarrow IJ//CD,\,\,\frac{{IJ}}{{CD}} = \frac{2}{3} \Rightarrow IJ = \frac{2}{3}a\)

Kẻ MH vuông góc IJ \( \Rightarrow \) H là trung điểm của IJ  \( \Rightarrow IH = \frac{{IJ}}{2} = \frac{a}{3}\)

Tam giác MIH vuông tại H \( \Rightarrow MH = \sqrt {M{I^2} - I{H^2}}  = \sqrt {{{\left( {\frac{{\sqrt {13} a}}{6}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{a}{3}} \right)}^2}}  = \frac{a}{2}\)

\( \Rightarrow {S_{\Delta MIJ}} = \frac{1}{2}IJ.MH = \frac{1}{2}.\frac{{2a}}{3}.\frac{a}{2} = \frac{{{a^2}}}{6}\).

Chọn: B