Cho hàm số \(y=x\sqrt{4-{{x}^{2}...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp hàm số, tìm GTLN, GTNN của \(y=f\left( x \right)\) trên \(\left[ a;b \right]\).

Bước 1: Tính \(f'\left( x \right)\) , giải phương trình \(f'\left( x \right)=0\), tìm các nghiệm \({{x}_{i}}\in \left[ a;b \right]\)

Bước 2: Tính các giá trị \(f\left( a \right);f\left( b \right);f\left( {{x}_{i}} \right)\) .

Bước 3: So sánh và kết luận: \(\underset{\left[ a;b \right]}{\mathop{\max }}\,f\left( x \right)=\max \left\{ f\left( a \right);f\left( b \right);f\left( {{x}_{i}} \right) \right\};\,\,\underset{\left[ a;b \right]}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)=\min \left\{ f\left( a \right);f\left( b \right);f\left( {{x}_{i}} \right) \right\}\).

Giải chi tiết:

\(y=x\sqrt{4-{{x}^{2}}}\). TXĐ: \(D=\left[ -2;2 \right]\).

\(y'=1.\sqrt{4-{{x}^{2}}}+x.\frac{-2x}{2\sqrt{4-{{x}^{2}}}}=\sqrt{4-{{x}^{2}}}-\frac{{{x}^{2}}}{\sqrt{4-{{x}^{2}}}}=\frac{4-{{x}^{2}}-{{x}^{2}}}{\sqrt{4-{{x}^{2}}}}=\frac{4-2{{x}^{2}}}{\sqrt{4-{{x}^{2}}}}\)

\(\begin{align}  & y'=0\Leftrightarrow 4-2{{x}^{2}}=0\Leftrightarrow x=\pm \sqrt{2}\in \left[ -2;2 \right] \\  & y\left( -2 \right)=0;\,\,y\left( 2 \right)=0;\,\,y\left( \sqrt{2} \right)=2;\,\,y\left( -\sqrt{2} \right)=-2 \\ \end{align}\)

Vậy, \(\underset{\left[ -2;2 \right]}{\mathop{\min }}\,y=-2=m\) khi và chỉ khi \(x=-\sqrt{2}\), \(\underset{\left[ -2;2 \right]}{\mathop{\max }}\,y=2=M\) khi và chỉ khi \(x=\sqrt{2}\).

\(\Rightarrow M+m=\sqrt{2}+(-\sqrt{2})=0\)

Chọn: D