Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) l...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Gọi H là trung điểm của BC \( \Rightarrow A'H \bot \left( {ABC} \right)\)

+) Xác định góc giữa AA’ và BM.

+) Áp dụng định lí Cosin trong tam giác.

Giải chi tiết:

Gọi H là trung điểm của BC \( \Rightarrow A'H \bot \left( {ABC} \right)\)

Ta có \(A'H = AH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\) nên \(AA' = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}\)

Do \(AA'\)//\(CC'\) nên \(\left( {AA';BM} \right) = \left( {CC';BM} \right)\). Ta tính góc \(\widehat {BMC}\).

Vì M là trung điểm của CC’ nên \(CM = \dfrac{1}{2}CC' = \dfrac{1}{2}AA' = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{4}\)

Gọi N là giao điểm của A’M với AC. Do \(CM\)//\(AA'\), \(CM = \dfrac{1}{2}AA'\)nên CM là đường trung bình \(\Delta AA'N \Rightarrow C\) là trung điểm của AN.

Ta có: \(A'C = AC = CN\) nên \(\Delta AA'N\) vuông tại A’, AN = 2a, \(AA' = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{2} \Rightarrow A'N = \dfrac{{a\sqrt {10} }}{2}\)

Tương tự, \(\Delta ABN\) vuông tại B, \(AB = a,\,AN = 2a \Rightarrow BN = a\sqrt 3 \)

Xét \(\Delta A'BN\) có: \(A'B = a,\,\,BN = a\sqrt 3 ,\,A'N = \dfrac{{a\sqrt {10} }}{2},\,\,BM\)là trung tuyến nên

\(B{M^2} = \dfrac{{B{N^2} + A'{B^2}}}{2} - \dfrac{{A'{N^2}}}{4} = \dfrac{{3{a^2} + {a^2}}}{2} - \dfrac{{5{a^2}}}{8} = \dfrac{{11{a^2}}}{8} \Rightarrow BM = \dfrac{{a\sqrt {22} }}{4}\)

Xét \(\Delta BMC\) có: \(\cos \widehat {BMC} = \dfrac{{B{M^2} + C{M^2} - B{C^2}}}{{2.BM.CM}} = \dfrac{{\dfrac{{11{a^2}}}{8} + \dfrac{{3{a^2}}}{8} - {a^2}}}{{2.\dfrac{{a\sqrt {22} }}{4}.\dfrac{{a\sqrt 6 }}{4}}} = \dfrac{{\sqrt {33} }}{{11}}\).

Chọn: C