Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^4} - 2{x^2} +...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Bước 1. Tính đạo hàm \(y' = f'\left( x \right)\) và giải \(f'\left( x \right) = 0.\)

Bước 2. Tìm các điểm cực trị. Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đạt cực đại tại điểm \({x_0} \Leftrightarrow f'\left( {{x_0}} \right) = 0\) và qua điểm \({x_0}\) thì \(f'\left( x \right)\) đổi dấu từ dương sang âm. 

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đạt cực tiểu tại điểm \({x_0} \Leftrightarrow f'\left( {{x_0}} \right) = 0\) và qua điểm \({x_0}\) thì \(f'\left( x \right)\) đổi dấu từ âm sang dương. 

Bước 3. Tính diện tích tam giác.

Giải chi tiết:

Bước 1. Ta có

\(f'\left( x \right) = 4{x^3} - 4x,\,\,f'\left( {{x_0}} \right) = 0 \Leftrightarrow 4x_0^3 - 4{x_0} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 0\\{x_0} = 1\\{x_0} = - 1\end{array} \right..\)

Bước 2.

\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow 4{x^3} - 4x > 0 \Leftrightarrow x \in \left( { - 1;0} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\\f'\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow 4{x^3} - 4x < 0 \Leftrightarrow x \in \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {0;1} \right)\end{array}\)

Ta có BBT:

Ta thấy qua \({x_0} =  - 1;1\) thì \(f'\left( x \right)\) đổi dấu từ âm sang dương, qua \({x_0} = 0\) thì \(f'\left( x \right)\) đổi dấu từ dương sang âm.

Vậy \({x_0} =  - 1;1\) là điểm cực tiểu của hàm số \(y = f\left( x \right)\) và điểm \(x = 0\) là điểm cực đại của hàm số \(y = f\left( x \right).\) Vậy ba điểm của tam giác tạo thành là \(A\left( {0;3} \right),\,\,B\left( {1;2} \right),\,\,C\left( { - 1;2} \right).\)

Bước 3. Quan sát thấy \(A\) là điểm thuộc trục tung và \(B,\,C\) là điểm đối xứng qua trục tung nên nếu \(I\) là trung điểm của \(BC\) thì \(AI \bot BC,\) hay \(AI\) là đường cao của tam giác \(ABC.\) Ta tính được \(I\left( {0;2} \right).\) Do đó \(\overrightarrow {AI}  = \left( {0; - 1} \right),\,\,\overrightarrow {BC}  = \left( { - 2;0} \right) \Rightarrow AI = 1,\,\,BC = 2.\) Vì vậy diện tích tam giác là \({S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}AI.BC = \dfrac{1}{2}.1.2 = 1.\)

Chọn D.