Cho \(\Delta ABC\) có \(AB<AC\). Trên tia đối c...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Áp dụng tính chất tam giác cân, góc ngoài của tam giác.

-        Chứng minh \(\widehat{I}>\widehat{K}\)

-        Áp dụng định lý: Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn.

Giải chi tiết:

Vì \(AB<AC\left( gt \right)\Rightarrow \widehat{ABC}>\widehat{ACB}\left( 1 \right)\) (quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác).

Ta có: \(AB=BI\left( gt \right)\Rightarrow \Delta ABI\) cân tại B (dấu hiệu nhận biết tam giác cân)

\(\Rightarrow \widehat{I}=\widehat{IAB}\) (tính chất tam giác cân).

Ta có: \(AC=CK\left( gt \right)\Rightarrow \Delta ACK\) cân tại C (dấu hiệu nhận biết tam giác cân).

\(\Rightarrow \widehat{K}=\widehat{CAK}\) (tính chất tam giác cân).

Ta có: \(\widehat{ABC}=\widehat{I}+\widehat{IAB}\) (tính chất góc ngoài của tam giác)

Mà 

\(\left\{ \begin{array}{l}\widehat I = \widehat {IAB}\left( {cmt} \right)\\\widehat K = \widehat {CAK}\left( {cmt} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\widehat {ABC} = 2\widehat I\\\widehat {ACB} = 2\widehat K\end{array} \right.\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\Rightarrow \widehat{I}>\widehat{K}\)

Xét \(\Delta AIK\) có \(\widehat{I}>\widehat{K}\left( cmt \right)\Rightarrow AK>AI\) (quan hệ giữa góc và cạnh trong tam giác). \(\Rightarrow \) đpcm.