Cho hypebol \((H):9{x^2} - 16{y^2} = 144\). Tìm đi...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Hypebol \((H):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) có 2 đường tiệm cận là \(y =  \pm \frac{b}{a}x\).  

Giải chi tiết:

\((H):9{x^2} - 16{y^2} = 144 \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{{16}} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 4\\b = 3\end{array} \right.\)

Hypebol\((H)\) có 2 đường tiệm cận là \(y =  \pm \frac{b}{a}x \Leftrightarrow y =  \pm \frac{3}{4}x \Leftrightarrow 3x + 4y = 0\,\,({d_1}),\,\,\,3x - 4y = 0\,\,({d_2})\) 

\(M({x_0};{y_0}) \in (H) \Rightarrow \)\(9{x_0}^2 - 16{y_0}^2 = 144\) (1)

Vì tổng khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận là \(\frac{{24\sqrt 5 }}{5}\) nên :

\(\frac{{\left| {3{x_0} + 4{y_0}} \right|}}{5} + \frac{{\left| {3{x_0} - 4{y_0}} \right|}}{5} = \frac{{24\sqrt 5 }}{5} \Leftrightarrow \left| {3{x_0} + 4{y_0}} \right| + \left| {3{x_0} - 4{y_0}} \right| = 24\sqrt 5 \)

            \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left| {3{x_0} + 4{y_0}} \right|^2} + 2\left| {3{x_0} + 4{y_0}} \right|.\left| {3{x_0} - 4{y_0}} \right| + {\left| {3{x_0} - 4{y_0}} \right|^2} = 2880\\ \Leftrightarrow 9{x_0}^2 + 24{x_0}{y_0} + 16{y_0}^2 + 2.\left| {9{x_0}^2 - 16{y_0}^2} \right| + 9{x_0}^2 - 24{x_0}{y_0} + 16{y_0}^2 = 2880\\ \Leftrightarrow 18{x_0}^2 + 32{y_0}^2 + 2.144 = 2880\\ \Leftrightarrow 18{x_0}^2 + 32{y_0}^2 = 2592\,\,(2)\end{array}\)

Từ (1), (2), ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}9{x_0}^2 - 16{y_0}^2 = 144\\18{x_0}^2 + 32{y_0}^2 = 2592\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0}^2 = 80\\{y_0}^2 = 36\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} =  \pm 4\sqrt 5 \\{y_0} =  \pm 6\end{array} \right.\)

Vậy, \({M_1}\left( {4\sqrt 5 ;6} \right);{M_2}\left( { - 4\sqrt 5 ;6} \right);{M_3}\left( {4\sqrt 5 ; - 6} \right);{M_4}\left( { - 4\sqrt 5 ; - 6} \right)\).

Chọn: C