Với \(-\pi <x<\pi \) thì s...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải phương trình lượng giác cơ bản: \(\sin x = \sin \alpha  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha  + k2\pi \\x = \pi  - \alpha  + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in Z} \right)\)

Tìm các nghiệm của phương trình trong khoảng \(\left( -\pi ;\pi  \right)\).

Giải chi tiết:

\(\sin \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\2x + \frac{\pi }{3} = \pi  - \frac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x =  - \frac{\pi }{6} + k2\pi \\2x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - \frac{\pi }{{12}} + k\pi \\x = \frac{\pi }{4} + k\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in Z} \right)\)

Xét nghiệm \(x =  - \frac{\pi }{{12}} + k\pi  \in \left( { - \pi ;\pi } \right)\mathop \Leftrightarrow \limits^{k \in Z}  - \pi  <  - \frac{\pi }{{12}} + k\pi  < \pi \) \(\mathop \Leftrightarrow \limits^{k \in Z}  - 1 <  - \frac{1}{{12}} + k < 1\mathop  \Leftrightarrow \limits^{k \in Z}  - \frac{{11}}{{12}} < k < \frac{{13}}{{12}}\mathop  \Leftrightarrow \limits^{k \in Z} \left\{ \begin{array}{l}k = 0\\k = 1\end{array} \right..\)

Khi k = 0 ta có nghiệm \(x=-\frac{\pi }{12}\)

Khi k = 1 ta có nghiệm \(x=-\frac{\pi }{12}+\pi =\frac{11\pi }{12}\)

Xét nghiệm \(x = \frac{\pi }{4} + k\pi  \in \left( { - \pi ;\pi } \right)\mathop  \Leftrightarrow \limits^{k \in Z} {\mkern 1mu}  - \pi  < \frac{\pi }{4} + k\pi  < \pi \) \(\mathop  \Leftrightarrow \limits^{k \in Z} {\mkern 1mu}  - 1 < \frac{1}{4} + k < 1\mathop  \Leftrightarrow \limits^{k \in Z} {\mkern 1mu}  - \frac{5}{4} < k < \frac{3}{4}\mathop  \Leftrightarrow \limits^{k \in Z} {\mkern 1mu} \left\{ \begin{array}{l}k =  - 1\\k = 0\end{array} \right..\)

Khi k = -1 ta có nghiệm \(x=\frac{\pi }{4}-\pi =-\frac{3\pi }{4}\)

Khi k = 0 ta có nghiệm \(x=\frac{\pi }{4}\)

Vậy phương trình có 4 nghiệm thuộc \(\left( -\pi ;\pi  \right).\)

Chọn C.