1) Cho 3 số \(x,\;y,\;z\) đôi một khác nhau và thỏ...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Kiến thức cần có: Nếu \(x,\;y,\;z\)  là 3 số thực thỏa mãn \(x + y + z = 0\)  thì khi đó \({x^3} + {y^3} + {z^3} = 3xyz\).

1) Chú ý rằng: \((x - y)(y - z)(x - z) = x{y^2} + y{z^2} + {x^2}z - {x^2}y - {y^2}z - {z^2}x\), đồng thời:

\(\begin{array}{l}2x{y^2} + 2y{z^2} + 2z{x^2} + 3xyz\\ = 2x{y^2} + 2y{z^2} + 2z{x^2} + {x^3} + {y^3} + {z^3}\\ = x{y^2} + y{z^2} + z{x^2} + {y^2}(x + y) + {z^2}(y + z) + {x^2}(x + z)\\ = x{y^2} + y{z^2} + z{x^2} - {y^2}z - {z^2}x - {x^2}y.\end{array}\)

Do đó: \(P = \frac{{2018\left( {x - y} \right)\left( {y - z} \right)\left( {z - x} \right)}}{{2x{y^2} + 2y{z^2} + 2z{x^2} + 3xyz}} = 2018.\)

2) Điều kiện: \(0 < a < b < 2a.\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}1 + ax = 1 + \sqrt {\frac{{2a - b}}{b}}  = \frac{{\sqrt b  + \sqrt {2a - b} }}{{\sqrt b }};\;\;\;1 - ax = \frac{{\sqrt b  - \sqrt {2a - b} }}{{\sqrt b }}\\ \Rightarrow \frac{{1 + ax}}{{1 - ax}} = \frac{{\sqrt b  + \sqrt {2a - b} }}{{\sqrt b  - \sqrt {2a - b} }} = \frac{{{{\left( {\sqrt b  + \sqrt {2a - b} } \right)}^2}}}{{b - \left( {2a - b} \right)}} = \frac{{{{\left( {\sqrt b  + \sqrt {2a - b} } \right)}^2}}}{{2\left( {b - a} \right)}}.\\1 + bx = 1 + \frac{b}{a}\sqrt {\frac{{2a - b}}{b}}  = 1 + \frac{{\sqrt {b\left( {2a - b} \right)} }}{a} = \frac{{a + \sqrt {b\left( {2a - b} \right)} }}{a}.\\1 - bx = 1 - \frac{b}{a}\sqrt {\frac{{2a - b}}{b}}  = 1 - \frac{{\sqrt {b\left( {2a - b} \right)} }}{a} = \frac{{a - \sqrt {b\left( {2a - b} \right)} }}{a}.\\ \Rightarrow \frac{{1 - bx}}{{1 + bx}} = \frac{{a - \sqrt {b\left( {2a - b} \right)} }}{a}.\frac{a}{{a + \sqrt {b\left( {2a - b} \right)} }} = \frac{{a - \sqrt {b\left( {2a - b} \right)} }}{{a + \sqrt {b\left( {2a - b} \right)} }}\\\;\; = \frac{{{a^2} - b\left( {2a - b} \right)}}{{{{\left( {a + \sqrt {b\left( {2a - b} \right)} } \right)}^2}}} = \frac{{{a^2} - 2ab + {b^2}}}{{{{\left( {a + \sqrt {b\left( {2a - b} \right)} } \right)}^2}}}\\\;\; = \frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{{{{\left( {a + \sqrt {b\left( {2a - b} \right)} } \right)}^2}}}.\\ \Rightarrow \sqrt {\frac{{1 - bx}}{{1 + bx}}}  = \sqrt {\frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{{{{\left( {a + \sqrt {b\left( {2a - b} \right)} } \right)}^2}}}}  = \left| {\frac{{a - b}}{{a + \sqrt {b\left( {2a - b} \right)} }}} \right| = \frac{{b - a}}{{a + \sqrt {b\left( {2a - b} \right)} }}\;\;\;\left( {do\;\;a < b} \right).\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow Q = \frac{{1 + ax}}{{1 - ax}}\sqrt {\frac{{1 - bx}}{{1 + bx}}}  = \frac{{{{\left( {\sqrt b  + \sqrt {2a - b} } \right)}^2}}}{{2\left( {b - a} \right)}}.\frac{{b - a}}{{a + \sqrt {b\left( {2a - b} \right)} }}\\\;\;\;\;\;\;\; = \frac{{{{\left( {\sqrt b  + \sqrt {2a - b} } \right)}^2}}}{{2\left( {a + \sqrt {b\left( {2a - b} \right)} } \right)}} = \frac{{b + 2a - b + 2\sqrt {b\left( {2a - b} \right)} }}{{2\left( {a + \sqrt {b\left( {2a - b} \right)} } \right)}}\\\;\;\;\;\;\;\; = \frac{{2\left( {a + \sqrt {b\left( {2a - b} \right)} } \right)}}{{2\left( {a + \sqrt {b\left( {2a - b} \right)} } \right)}} = 1.\end{array}\)

Vậy \(Q = 1.\)

Chọn B