1)      Cho đa thức: \(P(x) = {x^3} - 6{x^2} + 15x...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

1)      Đưa phương trình về dạng tích, phân tích để làm xuất hiện nhân tử \(a + b - 4\)

2)      Sử dụng bất đẳng thức Cauchy: \(a + b \ge 2\sqrt {ab} \,\,\left( {a;b \ge 0} \right)\).

Giải chi tiết:

1)      Ta có:

\(\eqalign{  & P(a) = 1 \Rightarrow {a^3} - 6{a^2} + 15a - 11 = 1  \cr   & P(b) = 5 \Rightarrow {b^3} - 6{b^2} + 15b - 11 = 5  \cr   &  \Rightarrow P(a) + P(b) = \left( {{a^3} + {b^3}} \right) - 6\left( {{a^2} + {b^2}} \right) + 15(a + b) - 22 = 6  \cr   &  \Leftrightarrow \left( {a + b - 4} \right)\left( {{a^2} + {b^2}} \right) - ab\left( {a + b} \right) - 2\left( {{a^2} + {b^2}} \right) + 15\left( {a + b - 4} \right) + 60 - 28 = 0  \cr   &  \Leftrightarrow \left( {a + b - 4} \right)\left( {{a^2} + {b^2}} \right) - ab\left( {a + b - 4} \right) - 2{(a + b)^2} + 15\left( {a + b - 4} \right) + 32 = 0  \cr   &  \Leftrightarrow \left( {a + b - 4} \right)\left( {{a^2} + {b^2} - ab + 15} \right) - 2\left( {a + b - 4} \right)\left( {a + b + 4} \right) = 0  \cr   &  \Leftrightarrow \left( {a + b - 4} \right)\left( {{a^2} + {b^2} - ab - 2a - 2b + 7} \right) = 0  \cr   &  \Leftrightarrow \left( {a + b - 4} \right)\left( {{a^2} - 2ab + {b^2} + {a^2} - 4a + 4 + {b^2} - 4b + 4 + 6} \right).{1 \over 2} = 0  \cr   &  \Leftrightarrow \left( {a + b - 4} \right)\left[ {{{\left( {a - b} \right)}^2} + {{\left( {a - 2} \right)}^2} + {{\left( {b - 2} \right)}^2} + 6} \right] = 0  \cr   &  \Leftrightarrow a + b = 4. \cr} \)

Vậy ta có điều phải chứng minh.

2)      Ta có:

\(H = {{{y^4}} \over {1 + {y^2} + {y^4}({x^4} + {x^2})}} = {1 \over {{1 \over {{y^4}}} + {1 \over {{y^2}}} + {x^4} + {x^2}}}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô Si ta có:

\(\eqalign{  & \left\{ \matrix{  {x^4} + {1 \over {{y^2}}} \ge {{2{x^2}} \over y} \hfill \cr   {x^2} + {1 \over {{y^4}}} \ge {{2x} \over {{y^2}}} \hfill \cr}  \right. \Rightarrow H \le {1 \over {{{2{x^2}} \over y} + {{2x} \over {{y^2}}}}}  \cr   & x(xy + 1) = 2{y^2} \Leftrightarrow {{{x^2}y + x} \over {{y^2}}} = 2 \Leftrightarrow {{{x^2}} \over y} + {x \over {{y^2}}} = 2  \cr   &  \Rightarrow {{2{x^2}} \over y} + {{2x} \over {{x^2}}} = 4 \Rightarrow H \le {1 \over 4}. \cr} \)

Vậy giá trị lớn nhất của H là \({1 \over 4}\), dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  {x^2} = {1 \over y} \hfill \cr   x = {1 \over {{y^2}}} \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow {x^4} = x \Leftrightarrow x = 1 \Rightarrow y = 1\).