Giải và biện luận theo m phương trình : \...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Phân tích biểu thức thành nhân tử.

+) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình.

+) Chú ý: nghiệm của phương trình phải thỏa mãn điều kiện.

Giải chi tiết:

\(\left( {{x^2} - 5x + 6} \right).\sqrt {{x^2} - 5mx + 6{m^2}}  = 0\)

ĐKXĐ: \({x^2} - 5mx + 6{m^2} \ge 0 \Leftrightarrow \left( {x - 2m} \right)\left( {x - 3m} \right) \ge 0\)

Nếu \(m > 0 \Rightarrow 3m > 2m \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge 3m\\x \le 2m\end{array} \right.\)

Nếu \(m < 0 \Rightarrow 3m < 2m \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge 2m\\x \le 3m\end{array} \right.\)

\(\left( {{x^2} - 5x + 6} \right).\sqrt {{x^2} - 5mx + 6{m^2}}  = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)\sqrt {\left( {x - 2m} \right)\left( {x - 3m} \right)}  = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 3\\x = 2m\\x = 3m\end{array} \right.\)

Khi \(m < 0 \Rightarrow 3m < 2m \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge 2m\\x \le 3m\end{array} \right.\).

      \( \Rightarrow x = 2,\,\,x = 3\,\,tm\,\,DKXD \Rightarrow \) Phương trình có tập nghiệm \(S = \left\{ {2;3;2m;3m} \right\}\).

Khi \(m > 0 \Rightarrow 3m > 2m \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge 3m\\x \le 2m\end{array} \right.\)

+) TH1: \(m = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 3\\x = 0\end{array} \right. \Rightarrow \) phương trình có 3 nghiệm.

+) TH2: \(m = 1 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 3\end{array} \right. \Rightarrow \) phương trình có 2 nghiệm.

+) TH3:  \(m = \dfrac{2}{3} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 3\\x = \dfrac{4}{3}\end{array} \right. \Rightarrow \) phương trình có 3 nghiệm

+) TH4: \(m = \dfrac{3}{2} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 3\\x = \dfrac{9}{2}\end{array} \right. \Rightarrow \) phương trình có 3 nghiệm.

+) TH5 : \(\left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\m \ne 1\\m \ne \dfrac{3}{2}\\m \ne \dfrac{2}{3}\end{array} \right.\)

Nếu \(3 \le 2m \Leftrightarrow m \ge \dfrac{3}{2} \Rightarrow \) Phương trình có tập nghiệm \(S = \left\{ {2;3;2m;3m} \right\}\).

Nếu \(2 \le 2m < 3 < 3m \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 \le m < \dfrac{3}{2}\\m > 1\end{array} \right.\,\,\left( {vo\,\,ly} \right)\)

Nếu \(2m < 2 < 3 < 3m \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 1\\m > 1\end{array} \right.\,\,\left( {vo\,\,ly} \right)\)

Nếu \(3m \le 2 \Leftrightarrow 0 < m \le \dfrac{2}{3} \Rightarrow \) Phương trình có tập nghiệm \(S = \left\{ {2;3;2m;3m} \right\}\).

\( \Rightarrow \) Khi \(\left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\m \ne 1\\m \ne \dfrac{3}{2}\\m \ne \dfrac{2}{3}\end{array} \right. \Rightarrow \) Phương trình có tập nghiệm \(S = \left\{ {2;3;2m;3m} \right\}\).