Giả sử \({x_1};{x_2}\) là các nghiệm của phương tr...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Dùng  phương pháp quy nạp toán học.

Giải chi tiết:

+) Chứng minh nguyên

Khi \(n = 1\) ta có: \({S_1} = {x_1} + {x_2} = p\) là số nguyên

Khi \(n = 2\) ta có: \({S_2} = x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = {p^2} - 2\) là số nguyên

Giả sử với \(k \ge 2\) có \({S_{k - 1}} = {x_1}^{k - 1} + {x_2}^{k - 1}\)và \({S_k} = {x_1}^k + {x_2}^k\)

Ta chứng minh \({S_{k + 1}} = {x_1}^{k + 1} + {x_2}^{k + 1}\) cũng là số nguyên.

Thật vậy ta có :

 \(\begin{array}{l}\left( {{x_1}^k + {x_2}^k} \right)\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = {x_1}^{k + 1} + {x_2}^{k + 1} + {x_1}{x_2}\left( {{x_1}^{k - 1} + {x_2}^{k - 1}} \right)\\ \Rightarrow {S_k}.p = {S_{k + 1}} + {S_{k - 1}} \Rightarrow {S_{k + 1}} = {S_k}.p - {S_{k - 1}}\end{array}\)

Mà \({S_{k - 1}}\) và \({S_k}\)là các số nguyên \( \Rightarrow {S_{k + 1}} = {x_1}^{k + 1} + {x_2}^{k + 1}\) là số nguyên.

Vậy \({S_n} = {x_1}^n + {x_2}^n\)là số nguyên với n nguyên dương.

+) Chứng minh nguyên tố cùng nhau :

Gọi A là ước chung lớn nhất của \({S_n} = x_1^n + x_2^n\) và \({S_{n + 1}} = x_1^{n + 1} + x_2^{n + 1}\)

Mà \({S_k}.p = {S_{k + 1}} + {S_{k - 1}} \Rightarrow A.f\left( x \right).p = A.g\left( x \right) + {S_{k - 1}}\)

Suy ra A là ước của \({S_{k - 1}} \to A\) là ước chung lớn nhất của \({S_k};{S_{k - 1}}\)

Tương tự ta  có A là ước chung lớn nhất của \({S_1};{S_2}\)

Mà \({S_1} = p\)\( \Rightarrow \)p chia hết cho A

Ta có \({S_2} = {p^2} - 2\)\( \Rightarrow \)\({p^2} \vdots p \Rightarrow  - 2 \vdots A \Rightarrow A = \left\{ {1;2} \right\}\)

Mặt khác p lẻ suy ra A=1

Vậy UCLN=1 hay \({S_n} = {x_1}^n + {x_2}^n\)và \({S_{n + 1}} = {x_1}^{n + 1} + {x_2}^{n + 1}\)nguyên tố cùng nhau (đpcm).