Cho phương trình bậc hai: \({x^2} - mx + m - 1 = 0...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Thay \(m = 4\) tìm nghiệm theo công thức nghiệm phương trình bậc 2 hoặc phân tích thành nhân tử.

b) Biến đổi biểu thức \(\frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}} = \frac{{{x_1} + {x_2}}}{{2014}}\) thành các phần tử chứa tích và tổng của \({x_1},{x_2}\)

Giải chi tiết:

a)  Ta có : \({x^2} - mx + m - 1 = 0\) (1)

Với \(m = 4\), phương trình (1) trở thành \({x^2} - 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 3\end{array} \right.\).

Vậy tập nghiệm của (1) là {1;3}

b)  Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt\({x_1},{x_2}\)

\( \Leftrightarrow \Delta  = {m^2} - 4\left( {m - 1} \right) > 0 \Leftrightarrow {m^2} - 4m + 4 > 0 \Leftrightarrow {\left( {m - 2} \right)^2} > 0 \Leftrightarrow m \ne 2\).

Khi đó, theo định lý Vi–ét:\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m\\{x_1}{x_2} = m - 1\end{array} \right.\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}} = \frac{{{x_1} + {x_2}}}{{2014}} \Leftrightarrow \frac{{{x_1} + {x_2}}}{{{x_1}{x_2}}} = \frac{{{x_1} + {x_2}}}{{2014}} \Leftrightarrow \frac{{2014\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - \left( {{x_1} + {x_2}} \right){x_1}{x_2}}}{{2014{x_1}{x_2}}} = 0\\ \Leftrightarrow \frac{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left( {2014 - {x_1}{x_2}} \right)}}{{2014{x_1}{x_2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 0\\{x_1}{x_2} = 2014\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m - 1 = 2014\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = 2015\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(m \in \left\{ {0;2015} \right\}\) là giá trị cần tìm.