Cho \(m,n\in \mathbb{N}\)  với \(\left( m;n \right...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Biến đổi dựa tính chất chia hết của các số.

Giải chi tiết:

Gọi \(d = \left( {{m^2} + {n^2};m + n} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} + {n^2}\,\, \vdots \,\,d\\m + n\,\, \vdots \,\,d\end{array} \right.\).

\(\eqalign{  &  \Rightarrow \left\{ \matrix{  {\left( {m + n} \right)^2} - 2mn\,\, \vdots \,\,d \hfill \cr  m + n\,\,\, \vdots \,\,d \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  2mn\,\, \vdots \,\,d \hfill \cr  m + n\,\, \vdots \,\,d \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  2n\left( {m + n} \right) - 2mn\,\, \vdots \,\,d \hfill \cr  2m\left( {m + n} \right) - 2mn\,\, \vdots \,\,d \hfill \cr}  \right.  \cr  &  \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  2{n^2}\,\, \vdots \,\,d \hfill \cr  2{m^2}\,\, \vdots \,\,d \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow d|\left( {2{m^2};2{n^2}} \right) = 2\left( {{m^2} + {n^2}} \right) = 2 \Rightarrow d \in \left\{ {1;2} \right\} \cr} \)

Nếu \(m+n\,\,\vdots \,\,2\Rightarrow d=2\)

Nếu \(\left( m+n \right)\) lẻ  \( \Rightarrow d = 1\).