Trong mặt phẳng \(Oxy\) cho tam giác \(ABC\) có đỉ...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Xác định tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

+) Kẻ đường kính AA’, kẻ \(OI \bot BC\). Chứng minh \(\overrightarrow {AH}  = 2\overrightarrow {OI} \), từ đó tìm tọa độ điểm I.

+) Viết phương trình đường thẳng BC đi qua I và vuông góc với OI.

+) \(C = BC \cap \left( O \right)\). Giải hệ phương trình bao gồm phương trình đường thẳng BC và đường tròn \(\left( O \right)\). Từ đó suy ra tọa độ điểm C và kết luận.

Giải chi tiết:

Theo đề bài ta có đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC\) là đường tròn tâm \(O\left( {0;\;0} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {50}  = 5\sqrt 2 .\)

Kẻ đường kính AA’, ta có:

\(\widehat {ACA'} = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \( \Rightarrow AC \bot A'C\). Mà \(BH \bot AC\)\( \Rightarrow BH//A'C\).

Hoàn toàn tương tự ta chứng minh dược \(CH//A'B\).

Do đó A’CHB là hình bình hành.

Kẻ \(OI \bot BC \Rightarrow I\) là trung điểm của BC\( \Rightarrow I\) đồng thời là trung điểm của A’H.

Do đó OI là đường trung bình của tam giác A’AH \( \Rightarrow OI = \dfrac{1}{2}AH \Rightarrow \overrightarrow {AH}  = 2\overrightarrow {OI} \).

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 6 = 2.{x_I}\\8 = 2{y_I}\end{array} \right. \Leftrightarrow I\left( { - 3;4} \right)\).

Đường thẳng BC đi qua I và nhận \(\overrightarrow {OI}  = \left( { - 3;4} \right)\) là 1 VTPT nên có phương trình \( - 3\left( {x + 3} \right) + 4\left( {y - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow  - 3x + 4y - 25 = 0\).

Ta có \(C = BC \cap \left( O \right)\), do đó tọa độ của điểm C là nghiệm của hệ phương trình

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} = 50\\ - 3x + 4y = 25\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} = 50\\x = \dfrac{{4y - 25}}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {\dfrac{{4y - 25}}{3}} \right)^2} + {y^2} = 50\\x = \dfrac{{4y - 25}}{3}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}16{y^2} - 200y + 625 + 9{y^2} = 450\\x = \dfrac{{4y - 25}}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 7 \Rightarrow x = 1\\y = 1 \Rightarrow x =  - 7\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}C\left( {1;7} \right)\\C\left( { - 7;1} \right)\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\\ \Rightarrow a =  - 7;\,\,b = 1 \Rightarrow a + b =  - 6\end{array}\)  

Chọn B.