Xét đa giác đều có n cạnh, biết số đường chéo gấp...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Xác định số đường chéo của đa giác theo n.

+) Giải phương trình chứa tổ hợp tìm n.

Giải chi tiết:

Chọn 2 trong n  đỉnh của đa giác ta lập được 1 cạnh hoặc đường chéo. \(\left( {n \ge 3,\;n \in  \in {N^*}} \right)\)

Số cạnh và đường chéo là \(C_n^2\) (đường).

\( \Rightarrow \) Số đường chéo của đa giác n cạnh là \(C_n^2 - n\) (đường).

Theo đề bài, số đường chéo gấp đôi số cạnh nên ta có phương trình:

 \(\begin{array}{l}\;\;\;\;C_n^2 - n = 2n \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{2!(n - 2)!}} = 3n\\ \Leftrightarrow \frac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)!}}{{2\left( {n - 2} \right)!}} = 3n\\ \Leftrightarrow n(n - 1) = 6n \Leftrightarrow {n^2} - 7n = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 7\;\;\left( {tm} \right)\\n = 0\;\;\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)                          .

Vậy đa giác cần tìm có 7 cạnh.

Chọn A.