Cho \(a,b\) là hai số dương. Chứng minh rằng:\({\l...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si để chứng minh bất đẳng thức.

Giải chi tiết:

\(A = {\left( {1 + \frac{a}{b}} \right)^5} + {\left( {1 + \frac{b}{a}} \right)^5}\)

Vì \(a,b\) là các số dương nên \({\left( {1 + \frac{a}{b}} \right)^5};\;{\left( {1 + \frac{b}{a}} \right)^5}\)là các số dương.

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số ta có:

\(\begin{array}{l}{\left( {1 + \frac{a}{b}} \right)^5} + {\left( {1 + \frac{b}{a}} \right)^5} \ge 2\sqrt {{{\left( {1 + \frac{a}{b}} \right)}^5}.{{\left( {1 + \frac{b}{a}} \right)}^5}} \\ \Leftrightarrow {\left( {1 + \frac{a}{b}} \right)^5} + {\left( {1 + \frac{b}{a}} \right)^5} \ge 2\sqrt {{{\left[ {\left( {1 + \frac{a}{b}} \right).\left( {1 + \frac{b}{a}} \right)} \right]}^5}} \end{array}\)

Đặt \(B = \left( {1 + \frac{a}{b}} \right).\left( {1 + \frac{b}{a}} \right) = 1 + \frac{a}{b} + \frac{b}{a} + \frac{a}{b}.\frac{b}{a} = 2 + \frac{a}{b} + \frac{b}{a}\).

Vì \(a,b\) là các số dương nên \(\frac{a}{b};\;\frac{b}{a}\) là các số dương. Áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2\sqrt {\frac{a}{b}.\frac{b}{a}} \; = 2.\\ \Rightarrow B \ge 2 + 2 = 4\\ \Rightarrow A \ge 2\sqrt {{4^5}} \; = 64.\end{array}\)

Hay \({\left( {1 + \frac{a}{b}} \right)^5} + {\left( {1 + \frac{b}{a}} \right)^5} \ge 64\) (đpcm)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {1 + \frac{a}{b}} \right)^5} = {\left( {1 + \frac{b}{a}} \right)^5} = 64\\\frac{a}{b} = \frac{b}{a}\end{array} \right. \Rightarrow a = b = 1\).