Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy\), cho hình th...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Lấy \(N'\) đối xứng với \(N\) qua \(I\) thì \(N' \in AB\).

- Viết phương trình đường thẳng \(AB\). Tính được \(d\left( {I,AB} \right)\).

- Sử dụng hệ thức \(AC = 2BD\) tính được \(IB \Rightarrow B\).

Giải chi tiết:

Gọi \(N'\)  đối xứng với \(N\)  qua \(I\) thì  \(N' \in AB\).

 \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{N'}} = 2{x_I} - {x_N} = 2.2 - 0 = 4\\{y_{N'}} = 2{y_I} - {y_N} = 2.1 - 7 =  - 5\end{array} \right. \Rightarrow N'\left( {4; - 5} \right)\)

Ta có: \(\overrightarrow {MN'}  = \left( {4; - \dfrac{{16}}{3}} \right)\).

\( \Rightarrow \) Đường thẳng \(AB\) đi qua \(N'\left( {4; - 5} \right)\) và nhận \(\overrightarrow n  = \left( {4;3} \right)\) làm VTPT nên \(AB:4\left( {x - 4} \right) + 3\left( {y + 5} \right) = 0\)  hay \(AB:4x + 3y - 1 = 0\).

Khoảng cách từ \(I\)  đến đường thẳng \(AB\) là \(d\left( {I;AB} \right) = \dfrac{{\left| {4.2 + 3.1 - 1} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {3^2}} }} = 2\) .

Vì \(AC = 2BD\)  nên \(AI = 2BI\), đặt  \(BI = x \Rightarrow AI = 2x\).

Trong tam giác vuông ABI có:

\(\dfrac{1}{{{d^2}\left( {I;AB} \right)}} = \dfrac{1}{{I{A^2}}} + \dfrac{1}{{I{B^2}}} \Leftrightarrow \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{{4{x^2}}} + \dfrac{1}{{{x^2}}} \Leftrightarrow x = \sqrt 5  \Rightarrow BI = \sqrt 5  \Rightarrow B{I^2} = 5\) .

Do \(\left\{ \begin{array}{l}B \in AB\\B{I^2} = 5\end{array} \right.\) nên tọa độ \(B\) là nghiệm của hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}4x + 3y - 1 = 0\\{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1;y =  - 1\\x =  - \dfrac{1}{5};y = \dfrac{3}{5}\end{array} \right.\)

Vì \(B\) có hoành độ dương nên  \(B\left( {1; - 1} \right)\).

Chọn B.